関数の偶奇分解

by nomura · 2024年2月26日

関数の偶奇分解
任意の関数$f\left(x\right)$は偶関数$f_{e}\left(x\right)$と奇関数$f_{o}\left(x\right)$の和で表すことができ、
\[ f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right) \] と表せる。
ここで、$f_{e}\left(x\right),f_{o}\left(x\right)$は
\[ \begin{cases} f_{e}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}\\ f_{o}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \end{cases} \] である。

偶関数かつ奇関数になることと、$f\left(x\right)=0$は同値である。
なぜなら$\Rightarrow$は任意の$x$に対し、$f\left(x\right)=f\left(-x\right)\land f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$とならなければいけないので、$f\left(x\right)=-f\left(x\right)$となり、これより、$f\left(x\right)=0$となるからである。
$\Leftarrow$は$f\left(x\right)=0$のときは$f\left(x\right)=f\left(-x\right)\land f\left(x\right)=-f\left(-x\right)$を満たすので偶関数かつ奇関数になるからである。
これより、$\Rightarrow$も$\Leftarrow$も満たすので$\Leftrightarrow$となる。

偶関数では$f\left(-x\right)=f\left(x\right)$が成り立つので、
\[ f\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}+\frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \] となる。
右辺1項は
\[ \frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}=\frac{f\left(-x\right)+f\left(x\right)}{2} \] となるので偶関数となる。
右辺第2項は
\[ \frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2}=-\frac{f\left(-x\right)-f\left(x\right)}{2} \] となるので奇関数となる。
これより、
\[ \begin{cases} f_{e}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)+f\left(-x\right)}{2}\\ f_{o}\left(x\right)=\frac{f\left(x\right)-f\left(-x\right)}{2} \end{cases} \] と表すと、
\[ f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right) \] となる。