関数の偶奇分解

偶関数かつ奇関数になることと、$f\left(x\right)=0$は同値である。
なぜなら$\Rightarrow$は任意の$x$に対し、$f\left(x\right)=f(-x)\wedge f\left(x\right)=-f(-x)$とならなければいけないので、$f\left(x\right)=-f\left(x\right)$となり、これより、$f\left(x\right)=0$となるからである。
$\Leftarrow$は$f\left(x\right)=0$のときは$f\left(x\right)=f(-x)\wedge f\left(x\right)=-f(-x)$を満たすので偶関数かつ奇関数になるからである。
これより、$\Rightarrow$も$\Leftarrow$も満たすので$\iff$となる。