(1)

\begin{align*} \frac{d}{dz}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right) & =\frac{d}{dz}\exp\log\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\\ & =\frac{d}{dz}\exp\sum_{k=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\\ & =\left\{ \exp\sum_{k=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\right\} \frac{d}{dz}\sum_{k=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\\ & =\left\{ \exp\log\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\right\} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{-\frac{2z}{k^{2}}}{1-\frac{z^{2}}{k^{2}}}\\ & =\left\{ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\right\} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{2z}{z^{2}-k^{2}}\\ & =\left\{ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\right\} \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{z-k}+\frac{1}{z+k}\right)\\ & =\left\{ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\right\} \left(\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{z+k}-\frac{1}{z}\right)\\ & =\left\{ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\right\} \left(\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)-\frac{1}{z}\right)\cmt{\because\pi\tan^{-1}\pi x=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+k}} \end{align*} これより、
\[ \left(\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)\right)^{-1}\frac{d}{dz}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)-\frac{1}{z} \] となり、
\[ \frac{d}{dz}\log\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)=\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)-\frac{1}{z} \] となる。
両辺\(z\)について積分すると、
\begin{align*} \log\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right) & =\int\left(\pi\tan^{-1}\left(\pi z\right)-\frac{1}{z}\right)dz\\ & =\log\sin\left(\pi z\right)-\log z+C\\ & =\log\frac{\sin\left(\pi z\right)}{z}+C \end{align*} これより、
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)=e^{C}\frac{\sin\left(\pi z\right)}{z} \] となり\(z\rightarrow0\)を代入すると\(C=\log\frac{1}{\pi}\)が求まるので、
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right)=\frac{\sin\left(\pi z\right)}{\pi z} \] となるので、両辺に\(\pi z\)を掛けてると、
\[ \sin\left(\pi z\right)=\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{k^{2}}\right) \] となり与式が求まる。

(2)

\begin{align*} \frac{d}{dz}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right) & =\frac{d}{dz}\exp\log\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\\ & =\frac{d}{dz}\exp\sum_{k=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\\ & =\left\{ \exp\sum_{k=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\right\} \frac{d}{dz}\sum_{k=1}^{\infty}\log\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\\ & =\left\{ \exp\log\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\right\} \sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)^{-1}\frac{-2z}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\sum_{k=1}^{\infty}\frac{2z}{z^{2}-\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{z-\left(k-\frac{1}{2}\right)}+\frac{1}{z+\left(k-\frac{1}{2}\right)}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{z+\left(k-\frac{1}{2}\right)}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\sum_{k=-\infty}^{\infty}\left(\frac{1}{z+\frac{1}{2}+k}\right)\cmt{k\rightarrow k+1}\\ & =-\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\tan\left(\pi z\right)\cmt{\because\pi\tan\pi x=-\sum_{k=-\infty}^{\infty}\frac{1}{x+\frac{1}{2}+k}} \end{align*} これより、
\[ \left\{ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\right\} ^{-1}\frac{d}{dz}\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)=-\tan\left(\pi z\right) \] となり、
\[ \frac{d}{dz}\log\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)=-\tan\left(\pi z\right) \] 両辺\(z\)について積分すると、
\begin{align*} \log\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right) & =-\int\tan\left(\pi z\right)dz\\ & =\log\left(\cos\left(\pi z\right)\right)+C \end{align*} となる。
これより、
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)=e^{C}\cos\left(\pi z\right) \] となり、\(z=0\)を代入して\(C=0\)となるので、
\[ \prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)=\cos\left(\pi z\right) \] となり、与式が求まる。

(3)

(1)より、
\begin{align*} \sinh\left(\pi z\right) & =-i\sin\left(i\pi z\right)\\ & =-i\pi\left(iz\right)\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{\left(iz\right)^{2}}{k^{2}}\right)\\ & =\pi z\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^{2}}{k^{2}}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(4)

(2)より、
\begin{align*} \cosh\left(\pi z\right) & =\cos\left(i\pi z\right)\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1-\frac{\left(iz\right)^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right)\\ & =\prod_{k=1}^{\infty}\left(1+\frac{z^{2}}{\left(k-\frac{1}{2}\right)^{2}}\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。