フィボナッチ数列の商の極限
フィボナッチ数列の商の極限
フィボナッチ数列の商の極限は、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi \] となる。
\(\phi\)は黄金数\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)である。
この値はフィボナッチ数列の初期値\(F_{0},F_{1}\)に依らない。
フィボナッチ数列の商の極限は、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}}=\phi \] となる。
\(\phi\)は黄金数\(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\)である。
この値はフィボナッチ数列の初期値\(F_{0},F_{1}\)に依らない。
\begin{align*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n+1}}{F_{n}} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{F_{n}+F_{n-1}}{F_{n}}\\
& =\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{F_{n-1}}{F_{n}}\right)\\
& =1+\LHS^{-1}\\
& =\frac{1+\sqrt{5}}{2}\\
& =\phi
\end{align*}
この値はフィボナッチ数列の漸化式のみで出てくるので、初期値\(F_{0},F_{1}\)に依らない。
従って題意は成り立つ。
従って題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | フィボナッチ数列の商の極限 |
| URL | https://www.nomuramath.com/i4whaq1j/ |
| SNSボタン |
フィボナッチ数列の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}F_{k}x^{k}=\frac{x}{1-x-x^{2}}
\]
カッシーニ・シムソンの定理
\[
F_{n-1}F_{n+1}-F_{n}^{2}=\left(-1\right)^{n}
\]
フィボナッチ数列と2項係数
\[
F_{n+1}=\sum_{k=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor }C\left(n-k,k\right)
\]
フィボナッチ数列の総和
\[
\sum_{k=0}^{n}F_{k}=F_{n+2}-1
\]