総乗の極限問題
総乗の極限問題
次の値を求めよ。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)=? \]
次の値を求めよ。
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)=? \]
\begin{align*}
\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)^{\frac{n^{2}}{k}\cdot\frac{k}{n^{2}}}\\
& =\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}e^{\frac{k}{n^{2}}}\\
& =\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\pow\left(e^{\frac{1}{n^{2}}},k\right)\\
& =\lim_{n\rightarrow\infty}\pow\left(e^{\frac{1}{n^{2}}},\sum_{k=1}^{n}k\right)\\
& =\lim_{n\rightarrow\infty}\pow\left(e^{\frac{1}{n^{2}}},\frac{n\left(n+1\right)}{2}\right)\\
& =\lim_{n\rightarrow\infty}e^{\frac{n+1}{2n}}\\
& =\sqrt{e}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 総乗の極限問題 |
| URL | https://www.nomuramath.com/i8rymdsf/ |
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2項係数の3の倍数の総和
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C\left(3n,3k\right)=?
\]
2項係数の対称性を使います
\[
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=?
\]
分母の形に気付くかな
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=?
\]
分母に総和がある数の総和
\[
\frac{1}{1}+\frac{1}{1+2}+\frac{1}{1+2+3}+\frac{1}{1+2+3+4}+\cdots=?
\]