微分・原始関数・定積分・不定積分の定義

(1)微分の定義

\[ \frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \]

(2)原始関数

微分すると\(f\left(x\right)\)となる関数を原始関数といい、\(\int f\left(x\right)dx\)と表す。すなわち\(f\left(x\right)\)の原始関数は逆微分をしたものである。

(3)定積分

閉区間\(I\)で可積分関数\(f\left(x\right)\)があるとする。このとき\(y=f\left(x\right),y=0,x=a,x=b\)で囲まれた部分の面積を\(\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\)で表し、これを定積分という。

(4)不定積分

閉区間\(I\)で可積分関数\(f\left(x\right)\)があるとする。このとき\(I\)内の定数\(a\)から変数\(x\)までの定積分\(\int_{a}^{x}f\left(x\right)dx\)を\(f\left(x\right)\)の不定積分という。