微分・原始関数・定積分・不定積分の定義
微分・原始関数・定積分・不定積分の定義
(1)微分の定義
\[ \frac{df\left(x\right)}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x} \](2)原始関数
微分すると\(f\left(x\right)\)となる関数を原始関数といい、\(\int f\left(x\right)dx\)と表す。すなわち\(f\left(x\right)\)の原始関数は逆微分をしたものである。(3)定積分
閉区間\(I\)で可積分関数\(f\left(x\right)\)があるとする。このとき\(y=f\left(x\right),y=0,x=a,x=b\)で囲まれた部分の面積を\(\int_{a}^{b}f\left(x\right)dx\)で表し、これを定積分という。(4)不定積分
閉区間\(I\)で可積分関数\(f\left(x\right)\)があるとする。このとき\(I\)内の定数\(a\)から変数\(x\)までの定積分\(\int_{a}^{x}f\left(x\right)dx\)を\(f\left(x\right)\)の不定積分という。(1)
不定積分が存在しても原始関数が存在するとは限りません。例えば関数
\[ f\left(x\right)=\begin{cases} 0 & x\ne0\\ 1 & x=0 \end{cases} \] の不定積分は\(0\)ですが原始関数は存在しません。
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微分の基本公式
\[
\left(f(x)g(x)\right)'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)
\]
反復積分に関するコーシーの公式
\[
\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt
\]
微分形接触型積分
\[
\int f'(g(x))g'(x)dx=f(g(x))
\]
逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]