ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係

by nomura · 2021年5月21日

ヘヴィサイドの階段関数と符号関数の関係

(1)

\[ H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)=\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2} \]

(2)

\[ H_{a}\left(x\right)=\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right)\delta_{0,x} \]

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\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数
\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ
\(\sgn\left(x\right)\)は符号関数

(1)

\begin{align*} H_{\frac{1}{2}}\left(x\right) & =\left(H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\\ & =\frac{\sgn\left(x\right)}{2}+\frac{1}{2}\\ & =\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2} \end{align*}

(2)

\begin{align*} H_{a}\left(x\right) & =H_{\frac{1}{2}}\left(x\right)+\left(a-\frac{1}{2}\right)\delta_{0,x}\\ & =\frac{\sgn\left(x\right)+1}{2}+\left(a-\frac{1}{2}\right)\delta_{0,x} \end{align*}