論理演算子の移項
論理演算子の移項
\(P,Q,R\)は命題変数とする。
マイナスパターン(論理包含)
プラスパターン
\(P,Q,R\)は命題変数とする。
マイナスパターン(論理包含)
(1)重要
\[ \left(P\land R\right)\rightarrow Q\Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\lor\lnot R\right) \](2)重要
\[ P\rightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land\lnot R\right)\rightarrow Q \](3)重要
\[ \left(P\land R\right)\nrightarrow Q\Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right) \](4)重要
\[ P\nrightarrow\left(Q\lor R\right)\Leftrightarrow\left(P\land\lnot R\right)\nrightarrow Q \]プラスパターン
(5)
\[ \left(P\lor R\right)\lor Q\Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor R\right) \](6)
\[ \left(P\leftarrow R\right)\lor Q\Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftarrow R\right) \](7)
\[ \left(P\land R\right)\land Q\Leftrightarrow P\land\left(Q\land R\right) \](8)
\[ \left(P\nrightarrow R\right)\land Q\Leftrightarrow P\land\left(Q\nrightarrow R\right) \](9)
\[ \left(P\leftrightarrow R\right)\leftrightarrow Q\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](10)
\[ \left(P\nleftrightarrow R\right)\leftrightarrow Q\Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](11)
\[ \left(P\lor R\right)\downarrow Q\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\lor R\right) \](12)
\[ \left(P\leftarrow R\right)\downarrow Q\Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) \](13)
\[ \left(P\land R\right)\uparrow Q\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\land R\right) \](14)
\[ \left(P\nrightarrow R\right)\uparrow Q\Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) \](15)
\[ \left(P\leftrightarrow R\right)\nleftrightarrow Q\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \](16)
\[ \left(P\nleftrightarrow R\right)\nleftrightarrow Q\Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \](1)
\begin{align*} \left(P\land R\right)\rightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land R\right)\lor Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot R\lor Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\left(Q\lor\lnot R\right)\\ & \Leftrightarrow P\rightarrow\left(Q\lor\lnot R\right) \end{align*}(2)
(1)で\(R\)を\(\lnot R\)とすればいい。(3)
(1)より、\begin{align*} \left(P\land R\right)\nrightarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left\{ \left(P\land R\right)\rightarrow Q\right\} \\ & \Leftrightarrow\lnot\left\{ P\rightarrow\left(Q\lor\lnot R\right)\right\} \\ & \Leftrightarrow P\nrightarrow\left(Q\lor\lnot R\right) \end{align*}
(4)
(3)で\(R\)を\(\lnot R\)とすればいい。(5)
\begin{align*} \left(P\lor R\right)\lor Q & \Leftrightarrow P\lor R\lor Q\\ & \Leftrightarrow P\lor Q\lor R\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\lor R\right) \end{align*}(6)
\begin{align*} \left(P\leftarrow R\right)\lor Q & \Leftrightarrow P\lor\lnot R\lor Q\\ & \Leftrightarrow P\lor Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow P\lor\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(7)
\begin{align*} \left(P\land R\right)\land Q & \Leftrightarrow P\land R\land Q\\ & \Leftrightarrow P\land Q\land R\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\land R\right) \end{align*}(8)
\begin{align*} \left(P\nrightarrow R\right)\land Q & \Leftrightarrow P\land\lnot R\land Q\\ & \Leftrightarrow P\land Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow P\land\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(9)
\begin{align*} \left(P\leftrightarrow R\right)\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow P\leftrightarrow R\leftrightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(10)
\begin{align*} \left(P\nleftrightarrow R\right)\leftrightarrow Q & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow R\leftrightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow Q\leftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}(11)
\begin{align*} \left(P\lor R\right)\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot R\land\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land\lnot R\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\lor R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\lor R\right) \end{align*}(12)
\begin{align*} \left(P\leftarrow R\right)\downarrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\lor\lnot R\right)\land\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land R\land\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot Q\land R\\ & \Leftrightarrow\lnot P\land\lnot\left(Q\leftarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\downarrow\left(Q\leftarrow R\right) \end{align*}(13)
\begin{align*} \left(P\land R\right)\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot R\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor\lnot R\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\land R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\land R\right) \end{align*}(14)
\begin{align*} \left(P\nrightarrow R\right)\uparrow Q & \Leftrightarrow\lnot\left(P\land\lnot R\right)\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor R\lor\lnot Q\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot Q\lor R\\ & \Leftrightarrow\lnot P\lor\lnot\left(Q\nrightarrow R\right)\\ & \Leftrightarrow P\uparrow\left(Q\nrightarrow R\right) \end{align*}(15)
\begin{align*} \left(P\leftrightarrow R\right)\nleftrightarrow Q & \Leftrightarrow P\leftrightarrow R\nleftrightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\leftrightarrow Q\nleftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\leftrightarrow R\right) \end{align*}(16)
\begin{align*} \left(P\nleftrightarrow R\right)\nleftrightarrow Q & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow R\nleftrightarrow Q\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow Q\nleftrightarrow R\\ & \Leftrightarrow P\nleftrightarrow\left(Q\nleftrightarrow R\right) \end{align*}ページ情報
| タイトル | 論理演算子の移項 |
| URL | https://www.nomuramath.com/icxp0ez5/ |
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3引数論理演算の括弧外しと優先順位変更全パターン
\[
P\lor\left(Q\land R\right)\Leftrightarrow\left(P\lor Q\right)\land\left(P\lor R\right)
\]
量化記号(全称命題・存在命題)の分配
\[
\exists x\left(P\left(x\right)\lor Q\left(x\right)\right)\Leftrightarrow\exists xP\left(x\right)\lor\exists xQ\left(x\right)
\]
論理演算の定義
\[
P\rightarrow Q\Leftrightarrow\lnot P\lor Q
\]
全称命題と存在命題の否定と部分否定・全否定
\[
\lnot\forall x,P\left(x\right)\Leftrightarrow\exists x,\lnot P\left(x\right)
\]