偶数ゼータの通常型母関数

by · 2020年11月26日

偶数ゼータの通常型母関数
∑k=1∞ζ(2k)x2k=12(1−πxtan−1⁡(πx))
∑k=1∞ζ(2k)x2k=∑k=1∞∑j=1∞1j2kx2k=∑j=1∞∑k=1∞(xj)2k=∑j=1∞∑k=1∞(xj)2k=∑j=1∞(xj)211−(xj)2=x∑j=1∞xj2−x2=−x2ddx∑j=1∞log⁡(j2−x2)=−x2ddxlog⁡(∏j=1∞(j2−x2))=−x2ddxlog⁡(1πx(∏m=1∞m2)πx(∏j=1∞j2−x2j2))=−x2ddxlog⁡(1πx(∏m=1∞m2)sin⁡(πx))=−x2ddx(log⁡sin⁡(πx)−log⁡x+log⁡(1π(∏m=1∞m2)))=−x2(πtan−1⁡(πx)−1x)=12(1−πxtan−1⁡(πx))
数学言語
在宅ワーカー募集中
スポンサー募集！
ページ情報
タイトル
偶数ゼータの通常型母関数
URL
https://www.nomuramath.com/ih5f369k/
SNSボタン
リーマン・ゼータ関数を含む総和
∑k=2∞ζ(k)−1k=1−γ
ゼータ関数とイータ関数の関係
η(s)=(1−21−s)ζ(s)
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の関係
ζ(s,1)=ζ(s)
リーマン・ゼータ関数とディレクレ・イータ関数の導関数の特殊値
ζ′(0)=−Log2π