第1種スターリング数の符号
第1種スターリング数の符号
第1種スターリング数の符号は次のようになる。
\[ \left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right) \]
第1種スターリング数の符号は次のようになる。
\[ \left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right) \]
\begin{align*}
Q\left(x,n\right) & =\left(-1\right)^{n}P\left(-x,n\right)\\
& =\left(-1\right)^{n}\sum_{k=0}^{\infty}S_{1}\left(n,k\right)\left(-x\right)^{k}\\
& =\sum_{k=0}^{\infty}\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)x^{k}
\end{align*}
ここで、
\[ Q\left(x,n\right)=\prod_{j=0}^{n-1}\left(x+j\right) \] なので、\(Q\left(x,n\right)\)の\(x\)の係数は全て0以上となる。
これより、左辺と右辺の\(x\)の係数を比べると、\(\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)\)は0以上となるので、
\[ \left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right) \] が成り立つ。
\[ Q\left(x,n\right)=\prod_{j=0}^{n-1}\left(x+j\right) \] なので、\(Q\left(x,n\right)\)の\(x\)の係数は全て0以上となる。
これより、左辺と右辺の\(x\)の係数を比べると、\(\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)\)は0以上となるので、
\[ \left|S_{1}\left(n,k\right)\right|=\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right) \] が成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 第1種スターリング数の符号 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ijtgvnap/ |
| SNSボタン |
スターリング数とベルヌーイ数の関係
\[
\frac{\left(-1\right)^{m}}{m!}\sum_{k=0}^{m}\left(-1\right)^{k}S_{1}\left(m+1,k+1\right)B_{k}=\frac{1}{m+1}
\]
スターリング数の組み合わせ解釈
スターリング数の簡単な値
\[
S_{1}\left(0,k\right)=\delta_{0k}
\]
スターリング数の解釈
\[
\left(-1\right)^{n+k}S_{1}\left(n,k\right)=\sum_{1\leq a_{1}<a_{2}<\cdots<a_{n-k}\leq n-1}\prod_{j=1}^{n-k}a_{j}
\]