2項係数の特殊な積
2項係数の特殊な積
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t) \]
\[ C(x,t)C(t,y)=C(x,y)C(x-y,x-t) \]
\begin{align*}
C(x,t)C(t,y) & =\frac{x!}{t!(x-t)!}\frac{t!}{y!(t-y)!}\\
& =\frac{x!}{y!(x-y)!}\frac{(x-y)!}{(x-t)!(t-y)!}\\
& =C(x,y)C(x-y,x-t)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の特殊な積 |
| URL | https://www.nomuramath.com/io58wa0k/ |
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2項係数を含む総和
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{\left(-1\right)^{k}C\left(n,k\right)}{m+k}=\frac{1}{mC\left(m+n,m\right)}
\]
ディクソンの等式
\[
\sum_{k=-a}^{a}(-1)^{k}C(a+b,a+k)C(b+c,b+k)C(c+a,c+k)=\frac{(a+b+c)!}{a!b!c!}
\]
2項係数の2乗和
\[
\sum_{j=0}^{m}C^{2}(m,j)=C(2m,m)
\]
2項係数の母関数
\[
\sum_{k=0}^{\infty}C(x+k,k)t^{k}=(1-t)^{-(x+1)}
\]