ガンマ関数の極限問題
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}
\]
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)} & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax\Gamma(ax)}{x\Gamma(x)}\\
& =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(1+ax)}{\Gamma(1+x)}\\
& =\frac{1}{a}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の極限問題 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ioidql08/ |
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ガンマ関数の絶対収束条件
ガンマ関数$\Gamma\left(z\right)$は$\Re\left(z\right)>0$で絶対収束
ディガンマ関数・ポリガンマ関数の漸化式・正整数値・半正整数値
\[
\psi(z+1)=\psi(z)+\frac{1}{z}
\]
階乗と階乗の逆数の母関数
\[
\frac{x^{a}}{a!}=e^{x}\left(\frac{\Gamma\left(a+1,x\right)}{\Gamma\left(a+1\right)}-\frac{\Gamma\left(a,x\right)}{\Gamma\left(a\right)}\right)
\]
負の整数の階乗の商
\[
\frac{\left(-m\right)!}{\left(-n\right)!}=\left(-1\right)^{n-m}\frac{\Gamma\left(n\right)}{\Gamma\left(m\right)}
\]