ガンマ関数の極限問題
\[
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)}=\frac{1}{a}
\]
\begin{align*}
\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(ax)}{\Gamma(x)} & =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{ax\Gamma(ax)}{x\Gamma(x)}\\
& =\frac{1}{a}\lim_{x\rightarrow0}\frac{\Gamma(1+ax)}{\Gamma(1+x)}\\
& =\frac{1}{a}
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ガンマ関数の極限問題 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ioidql08/ |
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1次式の総乗と階乗
\[
\prod_{k=a}^{b}\left(kn+r\right)=n^{b-a+1}\frac{\left(b+\frac{r}{n}\right)!}{\Gamma\left(a+\frac{r}{n}\right)}
\]
ガウスの乗法公式
\[
\Gamma(nz)=\frac{n^{nz-\frac{1}{2}}}{\left(2\pi\right)^{\frac{n-1}{2}}}\prod_{k=0}^{n-1}\Gamma\left(z+\frac{k}{n}\right)
\]
第1種・第2種不完全ガンマ関数の微分
\[
\frac{\partial\Gamma\left(a,x\right)}{\partial x}=-x^{a-1}e^{-x}
\]
ガンマ関数の半整数値
\[
\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n-1)!}{2^{2n-1}(n-1)!}\sqrt{\pi}
\]