射影と成分への射影の定義
射影と成分への射影の定義
このとき、写像
\[ \pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M} \] を\(M\)上の射影\(\pi_{M}\)という。
添え字集合\(M\)が一元集合\(M=\left\{ \mu\right\} \)のときは射影\(\pi_{M}\)は射影\(\pi_{\mu}\)とも書かれ、成分への射影となる。
各直積因子\(A_{\mu}\)に対し、全射
\[ \pi_{\mu}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\rightarrow A_{\mu},\left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto a_{\mu} \] を第\(\mu\)成分への射影という。
(1)射影
集合族\(\left\{ A_{\lambda}\right\} _{\lambda\in\Lambda}\)あるとき部分集合\(M\subseteq\Lambda\)を考える。このとき、写像
\[ \pi_{M}:\prod_{\lambda\in\lambda}A_{\lambda}\rightarrow\prod_{\mu\in M}A_{\mu},\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto\left(x_{\mu}\right)_{\mu\in M} \] を\(M\)上の射影\(\pi_{M}\)という。
添え字集合\(M\)が一元集合\(M=\left\{ \mu\right\} \)のときは射影\(\pi_{M}\)は射影\(\pi_{\mu}\)とも書かれ、成分への射影となる。
(2)成分への射影
直積\(\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)があるとき、各\(A_{\lambda}\)を直積因子という。各直積因子\(A_{\mu}\)に対し、全射
\[ \pi_{\mu}:\prod_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\rightarrow A_{\mu},\left(a_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\mapsto a_{\mu} \] を第\(\mu\)成分への射影という。
集合\(A,B\)があり直積集合\(A\times B\)から\(A\)への写像\(\pi_{A}:A\times B\rightarrow A,\left(a,b\right)\mapsto a\)は\(A\)成分への射影となる。
ページ情報
タイトル | 射影と成分への射影の定義 |
URL | https://www.nomuramath.com/ipsjlej7/ |
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収束する数列の部分列は同じ値に収束する
無限数列$\left(a_{n}\right)$が収束するとき、その部分列$\left(a_{\sigma\left(n\right)}\right)$も同じ値に収束する。
max・min関数の性質
\[
\max\left(a,b\right)=\frac{1}{2}\left(a+b+\left|a-b\right|\right)
\]
集合同士が交わるならば距離は0
\[
A\cap B\ne\emptyset\Rightarrow d\left(A,B\right)=0
\]
ガンマ関数の漸化式を更新しました