分母分子にべき乗があり分母には定数が足されている定積分
分母分子にべき乗があり分母には定数が足されている定積分
\(1+a<b\land-1<a\land0<c\)のとき、
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{a}}{c+x^{b}}dx=\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}\pi\sin^{-1}\left(\frac{a+1}{b}\pi\right) \]
\(1+a<b\land-1<a\land0<c\)のとき、
\[ \int_{0}^{\infty}\frac{x^{a}}{c+x^{b}}dx=\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}\pi\sin^{-1}\left(\frac{a+1}{b}\pi\right) \]
\begin{align*}
\int_{0}^{\infty}\frac{x^{a}}{c+x^{b}}dx & =\frac{1}{c}\int_{0}^{\infty}\frac{\left(\left(cy\right)^{\frac{1}{b}}\right)^{a}}{1+y}\cdot\frac{c}{b}\left(cy\right)^{\frac{1}{b}-1}dy\cmt{y=\frac{x^{b}}{c},c\ne0}\\
& =\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\frac{a}{b}}}{1+y}\cdot y^{\frac{1}{b}-1}dy\cmt{\because0\leq x=cy\land\Arg\left(c\right)\ne-\pi}\\
& =\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}\int_{0}^{\infty}\frac{y^{\frac{a-1}{b}-1}}{1+y}dy\\
& =\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}B\left(\frac{a+1}{b},1-\frac{a+1}{b}\right)\cmt{\because0<\frac{a+1}{b}\land0<1-\frac{a+1}{b}}\\
& =\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}\cdot\frac{\Gamma\left(\frac{a+1}{b}\right)\Gamma\left(1-\frac{a+1}{b}\right)}{\Gamma\left(1\right)}\\
& =\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}\Gamma\left(\frac{a+1}{b}\right)\Gamma\left(1-\frac{a+1}{b}\right)\\
& =\frac{c^{\frac{a+1}{b}-1}}{b}\pi\sin^{-1}\left(\frac{a+1}{b}\pi\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 分母分子にべき乗があり分母には定数が足されている定積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/iq6gwu4v/ |
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(*)分母に1乗と2乗ルートの積分
\[
\int\frac{1}{\left(z+\alpha\right)\sqrt{z^{2}+\beta}}dz=\frac{\tanh^{\bullet}\left(\frac{\alpha z-\beta}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}\sqrt{\beta+z^{2}}}\right)}{\sqrt{\alpha^{2}+\beta}}
\]
分母に2乗のルートがある積分
\[
\int\frac{1}{\sqrt{z^{2}+\alpha}}dz=\frac{\sqrt{\alpha}\sqrt{\frac{z^{2}}{\alpha}+1}}{\sqrt{z^{2}+\alpha}}\sinh^{\bullet}\frac{z}{\sqrt{\alpha}}+C
\]
3角関数と3角関数の対数の積分
\[
\int\sin\left(z\right)\log\left(\sin z\right)dz=-\cos z\log\sin z+\cos z+\log\left(\sin\frac{z}{2}\right)-\log\left(\cos\frac{z}{2}\right)+C
\]