リーマンゼータ関数の関数等式

by · 2020年4月26日

ヤコビのテータ級数
ϑ(t)=∑n=−∞∞e−πtn2
ヤコビのテータ変換公式
ϑ(t)=1tϑ(1t)
ポアソン和公式より、
ϑ(t)=∑n=−∞∞e−πtn2=∑k=−∞∞∫−∞∞e−πtn2e−2πikndn=∑k=−∞∞∫−∞∞e−πt(n+ikt)2e−πk2tdn=1t∑k=−∞∞e−πk2t=1tϑ(1t)
Ψ(x)=∑n=1∞e−πtn2 とおくと、

(1)

Ψ(x)=ϑ(x)−12

(2)

Ψ(1x)=xΨ(x)+x−12 が成り立つ。

(1)

ϑ(x)=∑n=−∞∞e−πtn2=∑n=−∞−1e−πtn2+1+∑n=1∞e−πtn2=2Ψ(x)+1 より、
Ψ(x)=ϑ(x)−12

(2)

Ψ(1x)=ϑ(1x)−12=xϑ(x)−12=xΨ(x)+x−12
リーマンゼータ関数の関数等式
π−s2Γ(s2)ζ(s)=π−1−s2Γ(1−s2)ζ(1−s)
ガンマ関数の定義より、
Γ(s)=∫0∞xs−1e−xdx,x→πn2x=(πn2)s∫0∞xs−1e−πn2xdx 両辺(πn2)sで割りs→s2にして∑n=1∞をとると、
π−s2Γ(s2)ζ(s)=∫0∞xs2−1Ψ(x)dx=(∫01+∫1∞)xs2−1Ψ(x)dx=∫1∞x−1−s2Ψ(x−1)dx+∫1∞xs2−1Ψ(x)dx=∫1∞x−1+s2Ψ(x)dx+12∫1∞x−1+s2dx−12∫1∞x−1−s2dx+∫1∞xs2−1Ψ(x)dx=∫1∞(x1−s2−1+xs2−1)Ψ(x)dx+11−s[x1−s2]1∞+1s[x−s2]1∞=∫1∞(x1−s2−1+xs2−1)Ψ(x)dx−11−s−1s 右辺はs→1−sとしても変わらないので、
π−s2Γ(s2)ζ(s)=π−1−s2Γ(1−s2)ζ(1−s) となる。
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リーマンゼータ関数の関数等式
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ゼータ関数の交代級数
∑k=1∞(ζ(2k)−ζ(2k+1))=12
リーマン・ゼータ関数を含む総和
∑k=2∞ζ(k)−1k=1−γ
ゼータ関数とイータ関数とガンマ関数
ζ(s)=1Γ(s)∫0∞xs−1ex−1dx
リーマン・ゼータ関数とフルヴィッツ・ゼータ関数の非正整数値
ζ(−n,α)=−1n+1Bn+1(α)