ポアソン和公式
ポアソン和公式
関数\(f\left(x\right)\)をフーリエ変換したものを\(\hat{f}\left(\xi\right)\)で表すと、
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right) \] が成り立つ。
関数\(f\left(x\right)\)をフーリエ変換したものを\(\hat{f}\left(\xi\right)\)で表すと、
\[ \sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right) \] が成り立つ。
フーリエ変換の定義による違い
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right) & \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\nu\right)\\ =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ikx}dx & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-i\nu x}dx\\ \hline \sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right) & \sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sqrt{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(2\pi k\right) & \sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(2\pi\nu\right) \\\hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right) & \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\nu\right)\\ =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ikx}dx & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-i\nu x}dx\\ \hline \sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right) & \sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sqrt{2\pi}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(2\pi k\right) & \sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(2\pi\nu\right) \\\hline \end{array} \]
\[
\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{1+k^{2}}=\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\tanh^{-1}\pi
\]
をポアソン和公式で導出してみる。
\(\frac{1}{1+x^{2}}\)をフーリエ変換すると、
\begin{align*} \mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{1+x^{2}}\right]\left(\xi\right) & =\mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-xi}+\frac{1}{1+xi}\right)\right]\left(\xi\right)\\ & =\mathcal{F}_{x}\left[\frac{i}{2}\left(\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}\right)\right]\left(\xi\right)\\ & =\frac{i}{2}\left(\mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{x+i}\right]\left(\xi\right)-\mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{x-i}\right]\left(\xi\right)\right)\\ & =\frac{i}{2}\left(-2\pi iH\left(\xi\right)e^{-2\pi\xi}-2\pi iH\left(-\xi\right)e^{2\pi\xi}\right)\\ & =\pi\left(H\left(\xi\right)e^{-2\pi\xi}+H\left(-\xi\right)e^{2\pi\xi}\right)\\ & =\pi\left(H\left(\xi\right)e^{-2\pi\left|\xi\right|}+H\left(-\xi\right)e^{-2\pi\left|\xi\right|}\right)\\ & =\pi e^{-2\pi\left|\xi\right|} \end{align*} となるのでポアソン和公式より、
\begin{align*} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{2}} & =\frac{1}{2}\left(\sum_{x=0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{2}}+\sum_{x=-\infty}^{-1}\frac{1}{1+x^{2}}+1\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{x=-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^{2}}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{1+x^{2}}\right]\left(\xi\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi\left|\xi\right|}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(2\sum_{\xi=0}^{\infty}e^{-2\pi\left|\xi\right|}-1\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(2\frac{1}{1-e^{-2\pi}}-1\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(-2\frac{e^{\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}-1\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(\frac{-2e^{\pi}-\left(e^{-\pi}-e^{\pi}\right)}{e^{-\pi}-e^{\pi}}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(\frac{-e^{\pi}-e^{-\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{\pi}-e^{-\pi}}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\tanh^{-1}\pi \end{align*} となる。
\(\frac{1}{1+x^{2}}\)をフーリエ変換すると、
\begin{align*} \mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{1+x^{2}}\right]\left(\xi\right) & =\mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{2}\left(\frac{1}{1-xi}+\frac{1}{1+xi}\right)\right]\left(\xi\right)\\ & =\mathcal{F}_{x}\left[\frac{i}{2}\left(\frac{1}{x+i}-\frac{1}{x-i}\right)\right]\left(\xi\right)\\ & =\frac{i}{2}\left(\mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{x+i}\right]\left(\xi\right)-\mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{x-i}\right]\left(\xi\right)\right)\\ & =\frac{i}{2}\left(-2\pi iH\left(\xi\right)e^{-2\pi\xi}-2\pi iH\left(-\xi\right)e^{2\pi\xi}\right)\\ & =\pi\left(H\left(\xi\right)e^{-2\pi\xi}+H\left(-\xi\right)e^{2\pi\xi}\right)\\ & =\pi\left(H\left(\xi\right)e^{-2\pi\left|\xi\right|}+H\left(-\xi\right)e^{-2\pi\left|\xi\right|}\right)\\ & =\pi e^{-2\pi\left|\xi\right|} \end{align*} となるのでポアソン和公式より、
\begin{align*} \sum_{x=0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{2}} & =\frac{1}{2}\left(\sum_{x=0}^{\infty}\frac{1}{1+x^{2}}+\sum_{x=-\infty}^{-1}\frac{1}{1+x^{2}}+1\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{x=-\infty}^{\infty}\frac{1}{1+x^{2}}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}_{x}\left[\frac{1}{1+x^{2}}\right]\left(\xi\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi\left|\xi\right|}\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(2\sum_{\xi=0}^{\infty}e^{-2\pi\left|\xi\right|}-1\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(2\frac{1}{1-e^{-2\pi}}-1\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(-2\frac{e^{\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}-1\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(\frac{-2e^{\pi}-\left(e^{-\pi}-e^{\pi}\right)}{e^{-\pi}-e^{\pi}}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(\frac{-e^{\pi}-e^{-\pi}}{e^{-\pi}-e^{\pi}}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\left(\frac{e^{\pi}+e^{-\pi}}{e^{\pi}-e^{-\pi}}\right)\\ & =\frac{1}{2}+\frac{\pi}{2}\tanh^{-1}\pi \end{align*} となる。
\begin{align*}
\sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right) & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\delta\left(x-n\right)dx\\
& =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-n\right)dx\\
& =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\mathrm{comb}_{1}\left(x\right)dx\\
& =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i\xi x}dx\\
& =\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\\
& =\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\\
& =\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | ポアソン和公式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/itz2i6aw/ |
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フーリエ変換の定義とフーリエ逆変換
\[
\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx
\]
フーリエ変換の定義による違い
\[
\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\frac{k}{2\pi}\right)
\]
偶関数・奇関数のフーリエ変換とフーリエ逆変換
\[
\mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)
\]
フーリエ変換の性質
\[
\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)*g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\mathcal{F}_{x}\left[g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)
\]