(1)

(5)より、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{-n}^{n}e^{2\pi ikx}dk\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi ix}\left[e^{2\pi ikx}\right]_{-n}^{n}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi ix}\left(e^{2\pi inx}-e^{-2\pi inx}\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\pi ix}2i\sin\left(2\pi nx\right)\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\pi x}\sin\left(2\pi nx\right)\\ & =2\pi\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\pi\cdot2\pi x}\sin\left(n\cdot2\pi x\right)\\ & =2\pi\delta\left(2\pi x\right)\\ & =\delta\left(x\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(2)

(1)より、
\begin{align*} \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{ikx}dk & =\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk\cmt{k\rightarrow2\pi k}\\ & =\delta\left(x\right) \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(3)

\(0<n\)のとき
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-nx^{2}}dx & =\frac{1}{\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^{2}}dx\cmt{x\rightarrow\sqrt{n}x}\\ & =\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sqrt{\pi}\\ & =1 \end{align*} \(x\ne0\)のとき、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-nx^{2}} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{\pi}e^{nx^{2}}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\frac{1}{2}\left(n\right)^{-\frac{1}{2}}}{\sqrt{\pi}x^{2}e^{nx^{2}}}\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{2\sqrt{n\pi}x^{2}e^{nx^{2}}}\\ & =0 \end{align*} これより、積分区間に原点を含まないときは0で原点を含むときは1となるので
\[ \delta\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\frac{n}{\pi}}e^{-nx^{2}} \] となり与式は成り立つ。

(4)

\(0<n\)のとき
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\pi}\cdot\frac{n}{x^{2}+n^{2}}dx & =\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\frac{n}{n^{2}\tan^{2}y+n^{2}}\frac{n}{\cos^{2}y}dy\cmt{x=n\tan y}\\ & =\frac{1}{\pi}\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}dy\\ & =1 \end{align*} \(x\ne0\)のとき、
\begin{align*} \frac{1}{\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{x^{2}+n^{2}} & =\frac{1}{\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\frac{x^{2}}{n}+n}\\ & =0 \end{align*} これより、積分区間に原点を含まないときは0で原点を含むときは1となるので
\[ \delta\left(x\right)=\frac{1}{\pi}\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n}{x^{2}+n^{2}} \] となり与式は成り立つ。

(5)

\(0<n\) のとき、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\left(nx\right)}{\pi x}dx & =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}{\pi y}dy\cmt{nx=y}\\ & =\frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin y}{y}dy\\ & =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{\sin y}{y}dy\\ & =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\sin y\cdot e^{-ay}dady\\ & =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\frac{e^{iy}-e^{-iy}}{2i}\cdot e^{-ay}dyda\\ & =\frac{1}{i\pi}\int_{0}^{\infty}\int_{0}^{\infty}\left(e^{-\left(a-i\right)y}-e^{-\left(a+i\right)y}\right)dyda\\ & =\frac{1}{i\pi}\int_{0}^{\infty}\left[-\frac{1}{a-i}e^{-\left(a-i\right)y}+\frac{1}{a+i}e^{-\left(a+i\right)y}\right]_{0}^{\infty}da\\ & =\frac{1}{i\pi}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{1}{a-i}-\frac{1}{a+i}\right)da\\ & =\frac{1}{i\pi}\int_{0}^{\infty}\left(\frac{2i}{a^{2}+1}\right)da\\ & =\frac{2}{\pi}\int_{0}^{\infty}\frac{1}{a^{2}+1}da\\ & =\frac{2}{\pi}\left[\tan^{\bullet}a\right]_{0}^{\infty}\\ & =\frac{2}{\pi}\left(\frac{\pi}{2}-0\right)\\ & =1 \end{align*} となり、積分区間に0を含まないときは、\(\frac{1}{\pi x}\)は区分的に連続であるので、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}\frac{\sin\left(nx\right)}{\pi x}dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}\frac{1}{\pi x}\sin\left(nx\right)dx\\ & =0\cmt{\because\text{リーマン・ルベーグの定理}} \end{align*} となる。
これより、積分区間に原点を含まないときは0で原点を含むときは1となるので
\[ \delta\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{\sin\left(nx\right)}{\pi x} \] となり与式は成り立つ。

(6)

\(0<n\)のとき、
\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{inx}}{i\pi x}dx & =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\cos\left(nx\right)+i\sin\left(nx\right)}{i\pi x}dx\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{\sin\left(nx\right)}{\pi x}dx\\ & =1 \end{align*} となり、積分区間に0を含まないときは、\(\frac{1}{i\pi x}\)は区分的に連続であるので、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}\frac{e^{inx}}{i\pi x}dx & =\lim_{n\rightarrow\infty}\int_{a}^{b}\frac{1}{i\pi x}\sin\left(nx\right)dx\\ & =0\cmt{\because\text{リーマン・ルベーグの定理}} \end{align*} となる。
これより、積分区間に原点を含まないときは0で原点を含むときは1となるので
\[ \delta\left(x\right)=\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{e^{inx}}{i\pi x} \] となり与式は成り立つ。

(7)

\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\epsilon}\left(H_{c}\left(x-\frac{\epsilon}{2}\right)-H_{c}\left(x+\frac{\epsilon}{2}\right)\right)dx & =\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\epsilon}\left(H_{c}\left(x-\frac{\epsilon}{2}\right)-H_{c}\left(x+\frac{\epsilon}{2}\right)\right)dx\\ & =\int_{-\frac{\epsilon}{2}}^{\frac{\epsilon}{2}}\frac{1}{\epsilon}\left(H_{c}\left(x-\frac{\epsilon}{2}\right)-H_{c}\left(x+\frac{\epsilon}{2}\right)\right)dx\\ & =\frac{1}{\epsilon}\int_{-\frac{\epsilon}{2}}^{\frac{\epsilon}{2}}dx\\ & =1 \end{align*} \(x=a\ne0\)のとき、\(\epsilon>0\)を\(\epsilon<\left|a\right|\)ととれば
\(0<a\)のときは、
\begin{align*} \frac{1}{\epsilon}\left(H_{c}\left(x-\frac{\epsilon}{2}\right)-H_{c}\left(x+\frac{\epsilon}{2}\right)\right) & =\frac{1}{\epsilon}\left(1-1\right)\\ & =0 \end{align*} \(a<0\)のときは
\begin{align*} \frac{1}{\epsilon}\left(H_{c}\left(x-\frac{\epsilon}{2}\right)-H_{c}\left(x+\frac{\epsilon}{2}\right)\right) & =\frac{1}{\epsilon}\left(0-0\right)\\ & =0 \end{align*} となるので、
\[ \frac{1}{\epsilon}\left(H_{c}\left(x-\frac{\epsilon}{2}\right)-H_{c}\left(x+\frac{\epsilon}{2}\right)\right)=0 \] となる。
これより、積分区間に原点を含まないときは0で原点を含むときは1となるので
\[ \delta\left(x\right)=\frac{1}{\epsilon}\left(H_{c}\left(x-\frac{\epsilon}{2}\right)-H_{c}\left(x+\frac{\epsilon}{2}\right)\right) \] となり与式は成り立つ。

(8)

\begin{align*} \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d}{dx}H_{c}\left(x\right)dx & =\left[H_{c}\left(x\right)\right]_{-\infty}^{\infty}\\ & =1-0\\ & =1 \end{align*} \(x<0\)のときは、\(H_{c}\left(x\right)=0\)なので\(\frac{d}{dx}H_{c}\left(x\right)=0\)となり、\(0<x\)のときは、\(H_{c}\left(x\right)=1\)なので\(\frac{d}{dx}H_{c}\left(x\right)=0\)となる。
従って\(x\ne0\)のときは\(\frac{d}{dx}H_{c}\left(x\right)dx=0\)となる。
これより、積分区間に原点を含まないときは0で原点を含むときは1となるので
\[ \delta\left(x\right)=\frac{d}{dx}H_{c}\left(x\right) \] となり与式は成り立つ。