上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能
上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能
上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)と下限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)は距離化不可能である。
上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)と下限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)は距離化不可能である。
上限位相空間
背理法により示す。距離化可能であると仮定する。
上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は可分であるので、距離空間で可分ならば第2可算公理を満たす。
しかし、上限位相空間は第2可算公理を満たさないので矛盾。
故に背理法より距離化不可能である。
下限位相空間
上限位相空間と同様にすればよい。ページ情報
| タイトル | 上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jat4yb57/ |
| SNSボタン |
上限位相と下限位相より強ければ離散位相
上限位相と下限位相の定義
\[
\mathcal{B}_{u}=\left\{ \left(a,b\right];a,b\in\mathbb{R},a<b\right\}
\]
上限位相空間・下限位相空間はコンパクトでない
上限位相空間・下限位相空間の第1可算公理・第2可算公理
上限位相空間・下限位相空間は第1可算公理を満たすが第2可算公理は満たさない。