上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能
上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能
上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)と下限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)は距離化不可能である。
上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)と下限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)は距離化不可能である。
上限位相空間
背理法により示す。距離化可能であると仮定する。
上限位相空間\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)は可分であるので、距離空間で可分ならば第2加算公理を満たす。
しかし、上限位相空間は第2加算公理を満たさないので矛盾。
故に背理法より距離化不可能である。
下限位相空間
上限位相空間と同様にすればよい。ページ情報
タイトル | 上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能 |
URL | https://www.nomuramath.com/jat4yb57/ |
SNSボタン |
上限位相・下限位相は通常位相より強い
\[
\mathcal{O}\subseteq\mathcal{O}_{u}
\]
上限位相と下限位相より強ければ離散位相
上限位相・下限位相での開集合と閉集合
上限位相空間・下限位相空間はコンパクトでない