2つの整数の逆数を足すと和の逆数になる整数は存在するか？

与式より\(m\ne0,n\ne0,m+n\ne0\)となる。
\begin{align*} \frac{1}{m+n} & =\frac{1}{m}+\frac{1}{n}\\ & =\frac{m+n}{mn} \end{align*} となるので両辺に\(mn\left(m+n\right)\)をかけると、
\begin{align*} mn & =\left(m+n\right)^{2}\\ & =m^{2}+n^{2}+2mn \end{align*} となるので、
\begin{align*} 0 & =m^{2}+n^{2}+mn\\ & =\frac{1}{2}\left\{ m^{2}+n^{2}+2mn+m^{2}+n^{2}\right\} \\ & =\frac{1}{2}\left\{ \left(m+n\right)^{2}+m^{2}+n^{2}\right\} \end{align*} となる。
これを満たすには\(m+n=0\land m=0\land n=0\)でなければいけないが、\(m\ne0,n\ne0,m+n\ne0\)なので与式を満たす\(m,n\)は存在しない。