一様コーシー列の定義
一様コーシー列の定義
関数列\(f_{n}(x)\)の定義域を\(I\)とする。
このとき、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon \] ならば関数列\(f_{n}(x)\)を一様コーシー列という。
関数列\(f_{n}(x)\)の定義域を\(I\)とする。
このとき、
\[ \forall\epsilon>0,\exists N\in\mathbb{N},\forall x\in I;\left(N\leq m,n\right)\rightarrow d\left(f_{m}\left(x\right),f_{n}\left(x\right)\right)<\epsilon \] ならば関数列\(f_{n}(x)\)を一様コーシー列という。
\(x\in\mathbb{R}\)として\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)とする。
このとき、任意の\(\epsilon>0\)に対し、自然数\(N\in\mathbb{N}\)を\(\frac{1}{\epsilon}\leq N\)となるようにとなる。
\(N\leq m,n\)のとき、
\begin{align*} \left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right| & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right|\\ & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\left(-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right)\right|\\ & =\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\\ & =\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\\ & \leq\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{2}}\\ & =\frac{2}{N^{2}}\\ & \leq\frac{2}{N}\\ & \leq2\epsilon \end{align*} となるので、\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)は一様コーシー列になる。
このとき、任意の\(\epsilon>0\)に対し、自然数\(N\in\mathbb{N}\)を\(\frac{1}{\epsilon}\leq N\)となるようにとなる。
\(N\leq m,n\)のとき、
\begin{align*} \left|f_{m}\left(x\right)-f_{n}\left(x\right)\right| & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right|\\ & =\left|\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\left(-\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\right)\right|\\ & =\frac{1}{x^{2}+m^{2}}+\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\\ & =\frac{1}{m^{2}}+\frac{1}{n^{2}}\\ & \leq\frac{1}{N^{2}}+\frac{1}{N^{2}}\\ & =\frac{2}{N^{2}}\\ & \leq\frac{2}{N}\\ & \leq2\epsilon \end{align*} となるので、\(f_{n}\left(x\right)=\frac{1}{x^{2}+n^{2}}\)は一様コーシー列になる。
ページ情報
| タイトル | 一様コーシー列の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/jhorqk6g/ |
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各点収束するが一様収束しない例
条件収束と絶対収束の定義
数列$\left\{ a_{n}\right\} $の各項$a_{n}$の絶対値をとった総和が$\sum_{k=1}^{\infty}\left|a_{n}\right|<\infty$となるとき、$\sum_{k=1}^{\infty}a_{n}$は絶対収束するという。
チェザロ平均と上限・下限・上極限・下極限の大小関係
\[
\limsup_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}\leq\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}
\]
極限と上極限・下極限との関係
\[
\exists a\in\left[-\infty,\infty\right],\left(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\leftrightarrow\liminf_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\limsup_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\right)
\]