位相空間での中間値の定理
位相空間での中間値の定理
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が連結で連続関数\(f:X\rightarrow\mathbb{R}\)があり、\(a,b\in X\)が\(f\left(a\right)<f\left(b\right)\)となるとき、任意の\(x\in\mathbb{R}\)に対しある\(c\in X\)が存在して\(f\left(a\right)<x<f\left(b\right)\rightarrow x=f\left(c\right)\)を満たす。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が連結で連続関数\(f:X\rightarrow\mathbb{R}\)があり、\(a,b\in X\)が\(f\left(a\right)<f\left(b\right)\)となるとき、任意の\(x\in\mathbb{R}\)に対しある\(c\in X\)が存在して\(f\left(a\right)<x<f\left(b\right)\rightarrow x=f\left(c\right)\)を満たす。
有限位相\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)では中間値の定理は使えない。
何故なら\(\left|X\right|\geq1\)では\(a\in X\)を1つ選び\(f\left(a\right)=a'\)ならある\(\delta>0\)が存在し\(f^{\bullet}\left(\left(a'-\delta,a'+\delta\right)\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\)となるが開集合の逆像なので開集合、閉集合の逆像は閉集合となるで、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\)は開集合かつ閉集合となる。
このとき、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\ne X\)とすると非連結となり、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)=X\)とすると連結となるが定値写像\(f\left(X\right)=\left\{ a'\right\} \)になり、定値写像では\(a,b\in X\)が\(f\left(a\right)<f\left(b\right)\)とはならないからである。
また、\(\left|X\right|=0\)では連結ではないので中間値の定理は使えない。
何故なら\(\left|X\right|\geq1\)では\(a\in X\)を1つ選び\(f\left(a\right)=a'\)ならある\(\delta>0\)が存在し\(f^{\bullet}\left(\left(a'-\delta,a'+\delta\right)\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\)となるが開集合の逆像なので開集合、閉集合の逆像は閉集合となるで、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\)は開集合かつ閉集合となる。
このとき、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\ne X\)とすると非連結となり、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)=X\)とすると連結となるが定値写像\(f\left(X\right)=\left\{ a'\right\} \)になり、定値写像では\(a,b\in X\)が\(f\left(a\right)<f\left(b\right)\)とはならないからである。
また、\(\left|X\right|=0\)では連結ではないので中間値の定理は使えない。
背理法で示す。
ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、任意の\(c\in X\)に対して\(f\left(a\right)<x<f\left(b\right)\land x\ne f\left(c\right)\)を満たすと仮定する。
\(f\)は連続なので、\(f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right),f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right)\)は\(a\in f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right),b\in f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right)\)なので空集合ではない開集合となる。
また、任意の\(c\in X\)に対して\(x\ne f\left(c\right)\)より\(f^{\bullet}\left(\left\{ x\right\} \right)=\emptyset\)となるので、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right)\cup f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right) & =f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\cup\left(x,\infty\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\mathbb{R}\setminus\left\{ x\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\mathbb{R}\right)\setminus f^{\bullet}\left(\left\{ x\right\} \right)\\ & =X\setminus\emptyset\\ & =X \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right)\cap f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right) & =f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\cap\left(x,\infty\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\emptyset\right)\\ & =\emptyset \end{align*} となり、\(X\)は非連結となり矛盾。
故に背理法より、題意は成り立つ。
ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、任意の\(c\in X\)に対して\(f\left(a\right)<x<f\left(b\right)\land x\ne f\left(c\right)\)を満たすと仮定する。
\(f\)は連続なので、\(f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right),f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right)\)は\(a\in f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right),b\in f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right)\)なので空集合ではない開集合となる。
また、任意の\(c\in X\)に対して\(x\ne f\left(c\right)\)より\(f^{\bullet}\left(\left\{ x\right\} \right)=\emptyset\)となるので、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right)\cup f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right) & =f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\cup\left(x,\infty\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\mathbb{R}\setminus\left\{ x\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\mathbb{R}\right)\setminus f^{\bullet}\left(\left\{ x\right\} \right)\\ & =X\setminus\emptyset\\ & =X \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right)\cap f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right) & =f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\cap\left(x,\infty\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\emptyset\right)\\ & =\emptyset \end{align*} となり、\(X\)は非連結となり矛盾。
故に背理法より、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 位相空間での中間値の定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ji2qygfq/ |
| SNSボタン |
連結と非連結の定義
\[
\exists O_{1},O_{2}\in\mathcal{O},X=O_{1}\cup O_{2}\land O_{1}\cap O_{2}=\emptyset\land O_{1}\ne\emptyset\land O_{2}\ne\emptyset
\]
有限個の連結・弧状連結な集合の直積は連結・弧状連結
連結・非連結の別定義
非連結であることと、空集合・全体集合以外で開集合かつ閉集合となる集合が存在することは同値。
連結部分集合・弧状連結部分集合・連結成分・弧状連結成分・完全不連結の定義