位相空間での中間値の定理
位相空間での中間値の定理
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が連結で連続関数\(f:X\rightarrow\mathbb{R}\)があり、\(a,b\in X\)が\(f\left(a\right)<f\left(b\right)\)となるとき、任意の\(x\in\mathbb{R}\)に対しある\(c\in X\)が存在して\(f\left(a\right)<x<f\left(b\right)\rightarrow x=f\left(c\right)\)を満たす。
位相空間\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)が連結で連続関数\(f:X\rightarrow\mathbb{R}\)があり、\(a,b\in X\)が\(f\left(a\right)<f\left(b\right)\)となるとき、任意の\(x\in\mathbb{R}\)に対しある\(c\in X\)が存在して\(f\left(a\right)<x<f\left(b\right)\rightarrow x=f\left(c\right)\)を満たす。
有限位相\(\left(X,\mathcal{O}\right)\)では中間値の定理は使えない。
何故なら\(\left|X\right|\geq1\)では\(a\in X\)を1つ選び\(f\left(a\right)=a'\)ならある\(\delta>0\)が存在し\(f^{\bullet}\left(\left(a'-\delta,a'+\delta\right)\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\)となるが開集合の逆像なので開集合、閉集合の逆像は閉集合となるで、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\)は開集合かつ閉集合となる。
このとき、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\ne X\)とすると非連結となり、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)=X\)とすると連結となるが定値写像\(f\left(X\right)=\left\{ a'\right\} \)になり、定値写像では\(a,b\in X\)が\(f\left(a\right)<f\left(b\right)\)とはならないからである。
また、\(\left|X\right|=0\)では連結ではないので中間値の定理は使えない。
何故なら\(\left|X\right|\geq1\)では\(a\in X\)を1つ選び\(f\left(a\right)=a'\)ならある\(\delta>0\)が存在し\(f^{\bullet}\left(\left(a'-\delta,a'+\delta\right)\right)=f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\)となるが開集合の逆像なので開集合、閉集合の逆像は閉集合となるで、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\)は開集合かつ閉集合となる。
このとき、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)\ne X\)とすると非連結となり、\(f^{\bullet}\left(\left\{ a'\right\} \right)=X\)とすると連結となるが定値写像\(f\left(X\right)=\left\{ a'\right\} \)になり、定値写像では\(a,b\in X\)が\(f\left(a\right)<f\left(b\right)\)とはならないからである。
また、\(\left|X\right|=0\)では連結ではないので中間値の定理は使えない。
背理法で示す。
ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、任意の\(c\in X\)に対して\(f\left(a\right)<x<f\left(b\right)\land x\ne f\left(c\right)\)を満たすと仮定する。
\(f\)は連続なので、\(f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right),f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right)\)は\(a\in f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right),b\in f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right)\)なので空集合ではない開集合となる。
また、任意の\(c\in X\)に対して\(x\ne f\left(c\right)\)より\(f^{\bullet}\left(\left\{ x\right\} \right)=\emptyset\)となるので、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right)\cup f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right) & =f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\cup\left(x,\infty\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\mathbb{R}\setminus\left\{ x\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\mathbb{R}\right)\setminus f^{\bullet}\left(\left\{ x\right\} \right)\\ & =X\setminus\emptyset\\ & =X \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right)\cap f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right) & =f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\cap\left(x,\infty\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\emptyset\right)\\ & =\emptyset \end{align*} となり、\(X\)は非連結となり矛盾。
故に背理法より、題意は成り立つ。
ある\(x\in\mathbb{R}\)が存在し、任意の\(c\in X\)に対して\(f\left(a\right)<x<f\left(b\right)\land x\ne f\left(c\right)\)を満たすと仮定する。
\(f\)は連続なので、\(f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right),f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right)\)は\(a\in f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right),b\in f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right)\)なので空集合ではない開集合となる。
また、任意の\(c\in X\)に対して\(x\ne f\left(c\right)\)より\(f^{\bullet}\left(\left\{ x\right\} \right)=\emptyset\)となるので、
\begin{align*} f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right)\cup f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right) & =f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\cup\left(x,\infty\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\mathbb{R}\setminus\left\{ x\right\} \right)\\ & =f^{\bullet}\left(\mathbb{R}\right)\setminus f^{\bullet}\left(\left\{ x\right\} \right)\\ & =X\setminus\emptyset\\ & =X \end{align*} \begin{align*} f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\right)\cap f^{\bullet}\left(\left(x,\infty\right)\right) & =f^{\bullet}\left(\left(-\infty,x\right)\cap\left(x,\infty\right)\right)\\ & =f^{\bullet}\left(\emptyset\right)\\ & =\emptyset \end{align*} となり、\(X\)は非連結となり矛盾。
故に背理法より、題意は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 位相空間での中間値の定理 |
| URL | https://www.nomuramath.com/ji2qygfq/ |
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