位相空間での中間値の定理

有限位相$(X,\mathcal{O})$では中間値の定理は使えない。
何故なら$\left|X\right|\ge 1$では$a\in X$を1つ選び$f\left(a\right)=a^{\prime }$ならある$\delta >0$が存在し$f^{\bullet }\left((a^{\prime }-\delta ,a^{\prime }+\delta )\right)=f^{\bullet }\left(\left\{a^{\prime }\right\}\right)$となるが開集合の逆像なので開集合、閉集合の逆像は閉集合となるで、$f^{\bullet }\left(\left\{a^{\prime }\right\}\right)$は開集合かつ閉集合となる。
このとき、$f^{\bullet }\left(\left\{a^{\prime }\right\}\right)\ne X$とすると非連結となり、$f^{\bullet }\left(\left\{a^{\prime }\right\}\right)=X$とすると連結となるが定値写像$f\left(X\right)=\left\{a^{\prime }\right\}$になり、定値写像では$a,b\in X$が$f\left(a\right)<f\left(b\right)$とはならないからである。
また、$\left|X\right|=0$では連結ではないので中間値の定理は使えない。