(1)

\(\Rightarrow\)

\(c\mid a\land c\mid b\)のとき、ある整数\(m,n\in\mathbb{Z}\)が存在して\(a=mc\land b=nc\)となる。
これより、\(\left(a+b\right)=\left(m+n\right)c\)となるので\(c\mid\left(a+b\right)\)となる。

\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(a=b=1,c=2\)とすると、左辺は\(c\mid\left(a+b\right)\Leftrightarrow2\mid\left(1+1\right)\Leftrightarrow2\mid2\Leftrightarrow\top\)であるが、右辺は\(2\mid1\land2\mid1\Leftrightarrow\bot\land\bot\Leftrightarrow\bot\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(2)

\(\Rightarrow\)

\(a\mid b\)が成り立つときある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在して\(b=na\)となる。
この両辺に任意の整数\(x\in\mathbb{Z}\)を掛けると\(bx=xna\)となり、\(xn\)は整数なので\(a\mid bx\)となる。

\(\Leftarrow\)

任意の\(x\in\mathbb{Z}\)に対し、\(a\mid bx\)が成り立つので、\(x=1\)とすれば\(\top\Leftrightarrow a\mid bx\Leftrightarrow a\mid b\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(3)

\(\Rightarrow\)

(1)(2)より、\(c\mid a\land c\mid b\rightarrow\forall x,y\in\mathbb{Z},c\mid ax\land c\mid by\rightarrow\forall x,y\in\mathbb{Z},c\mid\left(ax+by\right)\)となる。
従って\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

条件より、任意の整数\(x,y\in\mathbb{Z}\)に対し、\(c\mid\left(ax+by\right)\)が成り立つので、\(x=1,y=0\)とすると、\(c\mid a\)が成り立ち、\(x=0,y=1\)とすると、\(c\mid b\)が成り立つ。
これより、\(c\mid a\land c\mid b\)が成り立つ
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(4)

\(\Rightarrow\)

\(a\mid b\land a\mid c\)であるとき、ある整数\(m,n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(b=am,c=an\)となる。
このとき、\(a\mid\gcd\left(b,c\right)\Leftrightarrow a\mid\gcd\left(am,bn\right)\Leftrightarrow a\mid a\gcd\left(m,n\right)\Leftrightarrow1\mid\gcd\left(m,n\right)\Leftrightarrow\top\)となる。
従って、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

ある整数\(b',c'\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(b=b'\gcd\left(b,c\right),c=c'\gcd\left(b,c\right)\)となる。
また条件より、\(a\mid\gcd\left(b,c\right)\)であるので、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(\gcd\left(b,c\right)=an\)となる。
これより、\(b=b'\gcd\left(b,c\right)=b'an,c=c'\gcd\left(b,c\right)=c'an\)となるので、\(a\mid b\Leftrightarrow a\mid b'an\Leftrightarrow1\mid b'n\Leftrightarrow\top\)となり、同様に\(a\mid c\Leftrightarrow\top\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(5)

\(\Rightarrow\)

\(ab\mid c\)のとき、ある\(m\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(c=abm\)となるので、\(c=a\left(bm\right)\)であるので\(a\mid c\)となる。
同様に\(ab\mid c\)のとき、\(b\mid c\)となる。
従って、\(ab\mid c\)のとき、\(a\mid c\)かつ\(b\mid c\)となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

逆は一般的に成り立たない。

反例で示す。
\(a=b=c=2\)とすると右辺は\(a\mid c\land b\mid c\Leftrightarrow2\mid2\land2\mid2\Leftrightarrow\top\land\top\Leftrightarrow\top\)となり、左辺は\(ab\mid c\Leftrightarrow2\cdot2\mid2\Leftrightarrow4\mid2\Leftrightarrow2\mid1\Leftrightarrow\bot\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(6)

\(\Rightarrow\)

(5)より成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(p\mid a\land q\mid a\)なのである整数\(m,n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(a=pm,a=qn\)となる。
このとき、
\begin{align*} p\mid a\land q\mid a & \Rightarrow pq\mid aq\land pq\mid ap\\ & \Rightarrow\forall x,y\in\mathbb{Z},pq\mid\left(aqx+apy\right)\\ & \Leftrightarrow\forall x,y\in\mathbb{Z},pq\mid a\left(qx+py\right)\\ & \Rightarrow pq\mid a\gcd\left(p,q\right)\cmt{\because\exists x,y\in\mathbb{Z},\gcd\left(p,q\right)=qx+py}\\ & \Leftrightarrow pq\mid a\cmt{\because\gcd\left(p,q\right)=1} \end{align*} となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(7)

\(a\mid b\)が成り立つとき、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在して\(b=na\)となる。
このとき、\(b=\left(-n\right)\left(-a\right)\)となるので、\(a\mid b\Rightarrow-a\mid b\)が成り立ち、\(a\rightarrow-a\)と置き換えれば、\(-a\mid b\Rightarrow-a\mid b\)となるので\(a\mid b\Leftrightarrow-a\mid b\)が成り立つ。
同様に\(-b=\left(-n\right)\)となるので、\(a\mid b\Rightarrow a\mid-b\)が成り立ち、\(b\rightarrow-b\)と置き換えれば、\(a\mid-b\Rightarrow a\mid b\)となるので\(a\mid b\Leftrightarrow a\mid-b\)が成り立つ。
次に\(a\mid b\Leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)を示す。
\(a,b\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、明らかに\(a\mid b\Leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)が成り立つ。
\(a\in\mathbb{N},b\in\mathbb{N}^{-}\)のとき、\(-a\mid b\Leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)となるので、\(a\mid b\Leftrightarrow-a\mid b\Leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)となるので成り立つ。
\(a\in\mathbb{N}^{-},b\in\mathbb{N}\)のとき、\(-a\mid b\Leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)となるので、\(a\mid b\Leftrightarrow-a\mid b\Leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)となるので成り立つ。
\(a,b\in\mathbb{N}^{-}\)のとき、\(-a\mid-b\Leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)となるので、\(a\mid b\Leftrightarrow-a\mid b\Leftrightarrow-a\mid-b\Leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)となるので成り立つ。
これらより任意の整数\(a,b\)に対し\(a\mid b\Leftrightarrow\left|a\right|\mid\left|b\right|\)が成り立つ。

(8)

\(\Rightarrow\)

\(a\mid b\land b\mid a\)が成り立つときある整数\(m,n\in\mathbb{Z}\)が存在して\(b=ma,a=bn\)が成り立ち、\(a=mna\)となる
もし\(a\ne0\)なら\(mn=1\)となるので、\(\left(m=1\land n=1\right)\lor\left(m=-1\land n=-1\right)\)となるが、\(a=b\lor a=-b\)となるので\(\left|a\right|=\left|b\right|\)となる。
もし\(a=0\)なら\(b=0\)となるので\(\left|a\right|=\left|b\right|\)が成り立つ。
従って\(a=0\)でも\(a\ne0\)でも\(\left|a\right|=\left|b\right|\)が成り立つ。
故に\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\left|a\right|=\left|b\right|\)のとき、\(a=b\lor a=-b\)となる。
\(a=b\)のとき、\(a\mid b\land b\mid a\Leftrightarrow a\mid a\land a\mid a\Leftrightarrow\top\)となり\(\Leftarrow\)が成り立つ。
\(a=-b\)のとき、\(a\mid b\land b\mid a\Leftrightarrow a\mid-a\land-a\mid a\Leftrightarrow\top\)となり\(\Leftarrow\)が成り立つ。
これより、\(a=b\)でも\(a=-b\)でも\(a\mid b\land b\mid a\Leftrightarrow\top\)が成り立つ。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

-

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(9)

\(\Rightarrow\)

\(a\ne0\land b\ne0\land c\ne0\)のとき、
\begin{align*} a\mid b\land b\mid c\land c\mid a & \Rightarrow\left|a\right|\leq\left|b\right|\land\left|b\right|\leq\left|c\right|\land\left|c\right|\leq\left|a\right|\\ & \Leftrightarrow\left|a\right|\leq\left|b\right|\leq\left|c\right|\leq\left|a\right|\\ & \Leftrightarrow\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right| \end{align*} \(a=0\lor b=0\lor c=0\)のとき、
\(a=0\)とすると、\(a\mid b\land b\mid c\land c\mid a\Leftrightarrow0\mid b\land b\mid c\land c\mid0\)となるが、これが真になるためには\(0\mid b\)が真にならなければいけなく\(b=0\)となる。
そして\(a=0\)\(\land b=0\)ならば\(a\mid b\land b\mid c\land c\mid a\Leftrightarrow0\mid0\land0\mid c\land c\mid0\)となり、これが真になるためには\(0\mid c\)が真にならなければいけなく\(c=0\)となる。
従って\(a=0\)とすると\(a=b=c=0\)とならなければいけない。
同様に\(b=0\)や\(c=0\)としても\(a=b=c=0\)とならなければいけない。
してがって\(a=0\lor b=0\lor c=0\)のとき、\(a=b=c=0\)なので、\(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)が成り立つ。
これより、\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\)のとき、\(a\mid b\Leftrightarrow a\mid\pm a\Leftrightarrow\top\)同様に\(b\mid c\Leftrightarrow\top,c\mid a\Leftrightarrow\top\)となるので、\(a\mid b\land b\mid c\land c\mid a\Leftrightarrow\top\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(10)

\(\Rightarrow\)

\(a\mid b\land b\mid c\)であるとき、ある整数\(m,n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(b=am,c=bn\)となるので、\(amn=bn=c\)となるので\(a\mid c\)となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(1\mid1\)であるが、\(1\mid2\land2\mid1\Leftrightarrow\top\land\bot\Leftrightarrow\bot\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(11)

\(\Rightarrow\)

\(a\mid b\)であるとき、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(b=an\)となり、両辺に\(c\ne0\)を掛けると、\(bc=acn\)となるので、\(ac\mid bc\)となる。

逆は一般的に成り立たない。

\(c=0\)として\(a=2,b=1\)とすると、右辺は\(ac\mid bc\Leftrightarrow\left(2\cdot0\right)\mid\left(1\cdot0\right)\Leftrightarrow0\mid0\)\(\Leftrightarrow\top\)となるが左辺は\(a\mid b\Leftrightarrow2\mid1\Leftrightarrow\bot\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

\(c\ne0\)のときは\(\Leftarrow\)が成り立つ

\(c\ne0\)とすると、\(ac\mid bc\)であるとき、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(bc=acn\)となり、両辺を\(c\ne0\)で割ると、\(b=an\)となるので、\(a\mid b\)となるので\(\Leftarrow\)が成り立つ。

(12)

\(\Rightarrow\)

条件より、\(\gcd\left(a,b\right)=1\)なのである整数\(x,y\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(ax+by=1\)となる。
また、条件より\(a\mid bc\)なので、ある\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(bc=an\)となる。
これより、\(any=bcy=c\left(1-ax\right)=c-cax\)となり、\(c=any+cax=a\left(ny+cx\right)\)となるので、\(a\mid c\Leftrightarrow a\mid a\left(ny+cx\right)\Leftrightarrow1\mid\left(ny+cx\right)\Leftrightarrow\top\)となる。
従って題意は成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(a=b=c=2\)とすると右辺は\(a\mid c\Leftrightarrow2\mid2\Leftrightarrow\top\)となり、左辺は\(a\mid bc\land\gcd\left(a,b\right)=1\Leftrightarrow2\mid2\cdot2\land\gcd\left(2,2\right)=1\Leftrightarrow2\mid4\land2=1\Leftrightarrow\bot\)となる。
従って逆は一般的に成り立たない。

(13)

\(\Rightarrow\)

条件より、\(p\mid q\)であるので、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(q=pn\)となるが、\(q\)は素数なので\(n=\pm1\)となり、\(p\)も素数なので、\(n=1\)となる。
従って、\(q=p\)となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(p=q\)のとき明らかに\(p\mid q\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。

(14)

\(p\mid ab\)のとき、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(ab=pn\)となる。
\(p\nmid a\)とすると、\(p\)は素数なので\(\gcd\left(p,a\right)=1\)となるので、ある整数\(x,y\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(px+ay=\gcd\left(p,a\right)=1\)となる。
これより、\(pny=aby=b\left(1-px\right)=b-bpx\)となるので、\(b=p\left(ny+bx\right)\)となるので、\(p\mid b\Leftrightarrow p\mid p\left(ny+bx\right)\Leftrightarrow1\mid\left(ny+bx\right)\Leftrightarrow\top\)となる。
同様に\(p\nmid b\)とすると、\(p\mid a\)が成り立つ。
従って、\(\top\Leftrightarrow\left(p\nmid a\rightarrow p\mid b\right)\land\left(p\nmid b\rightarrow p\mid a\right)\Leftrightarrow\left(p\mid a\lor p\mid b\right)\land\left(p\mid b\lor p\mid a\right)\Leftrightarrow p\mid a\lor p\mid b\)となるので\(\Rightarrow\)が成り立つ。

\(\Leftarrow\)

\(p\mid a\)のとき、ある整数\(n\in\mathbb{Z}\)が存在し、\(a=pn\)となる。
両辺に\(b\)を掛けると、\(ab=p\left(nb\right)\)となるので、\(p\mid ab\)となる。
同様に\(p\mid b\)のときも\(p\mid ab\)となる。
従って\(\Leftarrow\)が成り立つ。

\(\Leftrightarrow\)

これらより、\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)が成り立つ。