(1)

\(\left(a,b\right]\)の補集合は
\begin{align*} \left(a,b\right]^{c} & =\left(-\infty,a\right]\cup\left(b,\infty\right)\\ & =\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(a-n,a\right]\cup\bigcup_{n\in\mathbb{N}}\left(b,b+n\right] \end{align*} となるので、開集合となる。
これより、\(\left(a,b\right]\)は開基であるので開集合となり、また\(\left(a,b\right]\)の補集合は開集合なので閉集合でもある。
故に\(\left(a,b\right]\)は閉集合かつ開集合となる。

(2)

\(\left(a,b-\frac{1}{n}\right]\)を\(n\in\mathbb{N},a<b-\frac{1}{n}\)を満たす\(n\)について和集合をとると、\(\left(a,b\right)=\bigcup_{n>\frac{1}{b-a}}\left(a,b-\frac{1}{n}\right]\)となるので開集合の和集合で表されるので\(\left(a,b\right)\)は開集合となる。
また、\(b\in\left(a,b\right)^{c}\)であるが、\(b\)を要素に持つ\(\epsilon\)近傍\(U_{\epsilon}\left(b\right)\)は任意の\(\epsilon>0\)に対し、\(U_{\epsilon}\left(b\right)\nsubseteq\left(-\infty,a\right]\cup\left[b,\infty\right)=\left(a,b\right)^{c}\)となるので閉集合ではない。
故に\(\left(a,b\right)\)は開集合であるが閉集合ではない。

(3)

\(\left[a,b\right]\)の補集合は\(\left[a,b\right]^{c}=\left(-\infty,a\right)\cup\left(b,\infty\right)\)となり開集合同士の和集合なので開集合となる。
しかし、\(a\in\left[a,b\right]\)であるが、\(a\)を要素に持つ\(\epsilon\)近傍\(U_{\epsilon}\left(a\right)\)は任意の\(\epsilon>0\)に対し、\(U_{\epsilon}\left(a\right)\nsubseteq\left[a,b\right]\)となるので開集合ではない。
故に\(\left[a,b\right]\)は閉集合であるが開集合ではない。

(4)-(6)

上限位相と同様にすればいい。