余弦と正弦の2乗が肩にある方程式
余弦と正弦の2乗が肩にある方程式
\[ 2^{\cos^{2}x}+2^{\sin^{2}x}=3 \] を満たす\(x\)を全て求めよ。
\[ 2^{\cos^{2}x}+2^{\sin^{2}x}=3 \] を満たす\(x\)を全て求めよ。
\begin{align*}
0 & =2^{\cos^{2}x}+2^{\sin^{2}x}-3\\
& =2^{1-\sin^{2}x}+2^{\sin^{2}x}-3\\
& =\frac{2}{2^{\sin^{2}x}}+2^{\sin^{2}x}-3\\
& =\frac{1}{2^{\sin^{2}x}}\left(\left(2^{\sin^{2}x}\right)^{2}-3\left(2^{\sin^{2}x}\right)+2\right)\\
& =\frac{1}{2^{\sin^{2}x}}\left(\left(2^{\sin^{2}x}-1\right)\left(2^{\sin^{2}x}-2\right)\right)
\end{align*}
これより、
\[ 2^{\sin^{2}x}=1,2 \] となり、
\begin{align*} \sin^{2}x & =0,1\\ \sin x & =0,\pm1 \end{align*} これより\(x\)は、
\[ x=\frac{\pi}{2}k\;,\;k\in\mathbb{Z} \]
\[ 2^{\sin^{2}x}=1,2 \] となり、
\begin{align*} \sin^{2}x & =0,1\\ \sin x & =0,\pm1 \end{align*} これより\(x\)は、
\[ x=\frac{\pi}{2}k\;,\;k\in\mathbb{Z} \]
ページ情報
タイトル | 余弦と正弦の2乗が肩にある方程式 |
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文字を消去すると4次方程式
\[
\begin{cases}
x^{2}-2y=4\\
y^{2}-2x=4
\end{cases}
\]
aのa乗にして解く問題
\[
27^{x}x=1,x=?
\]
sinとcosの5乗が1になる方程式
\[
\sin^{5}x+\cos^{5}x=1,x=?
\]
答えを求めるだけなら簡単
\[
\sqrt{x^{2}-9}=x-2,x=?
\]