偏角・対数の和と差
偏角・対数の和と差
\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ
\(\mzp_{a,b}\left(x_{1},x_{2};x\right)\)はmzp関数
(1)
\[ \Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \](2)
\[ \Arg\alpha-\Arg\beta=\Arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \](3)
\[ \Log\alpha+\Log\beta=\Log\left(\alpha\beta\right)+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \](4)
\[ \Log\alpha-\Log\beta=\Log\frac{\alpha}{\beta}+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \]-
\(H\left(x\right)\)はヘヴィサイドの階段関数\(\delta_{ij}\)はクロネッカーのデルタ
\(\mzp_{a,b}\left(x_{1},x_{2};x\right)\)はmzp関数
(1)
\begin{align*} \Arg\alpha+\Arg\beta & =\mod\left(\Arg\alpha,-2\pi,\pi\right)+\mod\left(\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)\\ & =\mod\left(\Arg\alpha+\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)-2\pi\mzp_{0,1}\left(\pi\sgn\left(-2\pi\right),\pi\sgn\left(-2\pi\right)+\left|-2\pi\right|;\sgn\left(-2\pi\right)\left(\mod\left(\Arg\alpha,-2\pi,\pi\right)+\mod\left(\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)\right)\right)\\ & =\mod\left(\Arg\left(\alpha\beta\right),-2\pi,\pi\right)-2\pi\mzp_{0,1}\left(-\pi,\pi;-\left(\mod\left(\Arg\alpha,-2\pi,\pi\right)+\mod\left(\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)\right)\right)\\ & =\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \Arg\alpha-\Arg\beta & =\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\\ & =\Arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \end{align*}(3)
\begin{align*} \Log\alpha+\Log\beta & =\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\alpha+\ln\left|\beta\right|+i\Arg\beta\\ & =\ln\left|\alpha\beta\right|+i\left(\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\\ & =\ln\left|\alpha\beta\right|+i\left(\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\right)\\ & =\Log\left(\alpha\beta\right)+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \end{align*}(4)
\begin{align*} \Log\alpha-\Log\beta & =\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\alpha-\left(\ln\left|\beta\right|+i\Arg\beta\right)\\ & =\ln\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|+i\left(\Arg\alpha-\Arg\beta\right)\\ & =\ln\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|+i\left(\Arg\left(\alpha\beta^{-1}\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\right)\\ & =\Log\frac{\alpha}{\beta}+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \end{align*}ページ情報
| タイトル | 偏角・対数の和と差 |
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逆数の偏角と対数
\[
\Arg z^{-1}=-\Arg z+2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(z\right)}
\]
複素数の冪関数の定義
\[
\alpha^{\beta}=e^{\beta\log\alpha}
\]
指数関数の実部と虚部
\[
\left|\alpha^{\beta}\right|=\left|\alpha\right|^{\Re\left(\beta\right)}e^{-\Im\left(\beta\right)\Arg\left(\alpha\right)}
\]
偏角の和と積の偏角
\[
\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)=?\Arg\left(\alpha\beta\right)
\]