(1)

\begin{align*} \Arg\alpha+\Arg\beta & =\mod\left(\Arg\alpha,-2\pi,\pi\right)+\mod\left(\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)\\ & =\mod\left(\Arg\alpha+\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)-2\pi\mzp_{0,1}\left(\pi\sgn\left(-2\pi\right),\pi\sgn\left(-2\pi\right)+\left|-2\pi\right|;\sgn\left(-2\pi\right)\left(\mod\left(\Arg\alpha,-2\pi,\pi\right)+\mod\left(\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)\right)\right)\\ & =\mod\left(\Arg\left(\alpha\beta\right),-2\pi,\pi\right)-2\pi\mzp_{0,1}\left(-\pi,\pi;-\left(\mod\left(\Arg\alpha,-2\pi,\pi\right)+\mod\left(\Arg\beta,-2\pi,\pi\right)\right)\right)\\ & =\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \end{align*}

(2)

\begin{align*} \Arg\alpha-\Arg\beta & =\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\\ & =\Arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \end{align*}

(3)

\begin{align*} \Log\alpha+\Log\beta & =\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\alpha+\ln\left|\beta\right|+i\Arg\beta\\ & =\ln\left|\alpha\beta\right|+i\left(\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\\ & =\ln\left|\alpha\beta\right|+i\left(\Arg\left(\alpha\beta\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\right)\\ & =\Log\left(\alpha\beta\right)+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right) \end{align*}

(4)

\begin{align*} \Log\alpha-\Log\beta & =\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\alpha-\left(\ln\left|\beta\right|+i\Arg\beta\right)\\ & =\ln\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|+i\left(\Arg\alpha-\Arg\beta\right)\\ & =\ln\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|+i\left(\Arg\left(\alpha\beta^{-1}\right)+2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\right)\\ & =\Log\frac{\alpha}{\beta}+2\pi i\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi i\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)} \end{align*}

(5)

\begin{align*} & \Arg\alpha+\Arg\beta=\Arg\left(\alpha\beta\right)\\ \Leftrightarrow & 0=2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta\right)\\ \Leftrightarrow & -\pi<\Arg\alpha+\Arg\beta\leq\pi \end{align*}

(6)

\begin{align*} & \Arg\alpha-\Arg\beta=\Arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\\ \Leftrightarrow & 0=2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right)-2\pi\delta_{\pi,\Arg\left(\beta\right)}\\ \Leftrightarrow & 0=\begin{cases} 2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\Arg\beta^{-1}\right) & \Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ 2\pi\mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\pi\right)-2\pi & \Arg\left(\beta\right)=\pi \end{cases}\\ \Leftrightarrow & 0=\begin{cases} \mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha-\Arg\beta\right) & \Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ \mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\pi\right)-1 & \Arg\left(\beta\right)=\pi \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ \mzp_{-1,0}\left(-\pi,\pi;\Arg\alpha+\pi\right)=1 & \Arg\left(\beta\right)=\pi \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ \pi<\Arg\alpha+\pi & \Arg\left(\beta\right)=\pi \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ 0<\Arg\alpha & \Arg\left(\beta\right)=\pi \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ 0<\Arg\alpha\leq2\pi & \Arg\left(\beta\right)=\pi \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ 0-\pi<\Arg\alpha-\pi\leq2\pi-\pi & \Arg\left(\beta\right)=\pi \end{cases}\\ \Leftrightarrow & \begin{cases} -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \Arg\left(\beta\right)\ne\pi\\ -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi & \Arg\left(\beta\right)=\pi \end{cases}\\ \Leftrightarrow & -\pi<\Arg\alpha-\Arg\beta\leq\pi \end{align*}

(7)

\begin{align*} \Log\alpha+\Log\beta=\Log\left(\alpha\beta\right) & \Leftrightarrow\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\left(\alpha\right)+\ln\left|\beta\right|+i\Arg\left(\beta\right)=\ln\left|\alpha\beta\right|+i\Arg\left(\alpha\beta\right)\\ & \Leftrightarrow\ln\left|\alpha\beta\right|+i\left(\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\right)=\ln\left|\alpha\beta\right|+i\Arg\left(\alpha\beta\right)\\ & \Leftrightarrow\Arg\left(\alpha\right)+\Arg\left(\beta\right)\Leftrightarrow\Arg\left(\alpha\beta\right)\\ & \Leftrightarrow-\pi<\Arg\alpha+\Arg\beta\leq\pi \end{align*}

(8)

\begin{align*} \Log\alpha-\Log\beta=\Log\left(\frac{\alpha}{\beta}\right) & \Leftrightarrow\ln\left|\alpha\right|+i\Arg\left(\alpha\right)-\ln\left|\beta\right|-i\Arg\left(\beta\right)=\ln\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|+i\Arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\\ & \Leftrightarrow\ln\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|+i\left(\Arg\left(\alpha\right)-\Arg\left(\beta\right)\right)=\ln\left|\frac{\alpha}{\beta}\right|+i\Arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\\ & \Leftrightarrow\Arg\left(\alpha\right)-\Arg\left(\beta\right)\Leftrightarrow\Arg\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)\\ & \Leftrightarrow-\pi<\Arg\alpha+\Arg\beta\leq\pi \end{align*}