(1)

\(f,g\)を順序写像とする。
\begin{align*} a\preceq_{X}b & \Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\\ & \Rightarrow g\left(f\left(a\right)\right)\preceq_{Z}g\left(f\left(a\right)\right)\\ & \Leftrightarrow\left(g\circ f\right)\left(a\right)\preceq_{Z}\left(g\circ f\right)\left(b\right) \end{align*} となるので、題意は成り立つ。

(2)

\(f,g\)を順序単射とする。
\begin{align*} \left(g\circ f\right)\left(a\right)\preceq_{Z}\left(g\circ f\right)\left(b\right) & \Leftrightarrow g\left(f\left(a\right)\right)\preceq_{Z}g\left(f\left(a\right)\right)\\ & \Rightarrow f\left(a\right)\preceq_{Y}f\left(b\right)\\ & \Rightarrow a\preceq_{X}b \end{align*} となるので、題意は成り立つ。

(3)

順序埋め込み写像は順序写像かつ順序単射である。
これより、順序埋め込み写像同士の合成写像は順序写像同士の合成写像になるので、順序写像となる。
同様に順序埋め込み写像同士の合成写像は順序単射同士の合成写像になるので、順序単射となる。
従って、合成写像は順序写像かつ順序単射であるので順序埋め込み写像となり題意は成り立つ。