順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像

順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像
(X,X),(Y,Y),(Z,Z)を順序集合として、f:XY,g:YZを写像とする。

(1)

写像f,gが共に順序写像ならば合成写像gfも順序写像になる。

(2)

写像f,gが共に順序単射ならば合成写像gfも順序単射になる。

(3)

写像f,gが共に順序埋め込み写像ならば合成写像gfも順序埋め込み写像になる。

(1)

f,gを順序写像とする。
aXbf(a)Yf(b)g(f(a))Zg(f(a))(gf)(a)Z(gf)(b) となるので、題意は成り立つ。

(2)

f,gを順序単射とする。
(gf)(a)Z(gf)(b)g(f(a))Zg(f(a))f(a)Yf(b)aXb となるので、題意は成り立つ。

(3)

順序埋め込み写像は順序写像かつ順序単射である。
これより、順序埋め込み写像同士の合成写像は順序写像同士の合成写像になるので、順序写像となる。
同様に順序埋め込み写像同士の合成写像は順序単射同士の合成写像になるので、順序単射となる。
従って、合成写像は順序写像かつ順序単射であるので順序埋め込み写像となり題意は成り立つ。
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順序写像・順序単射・順序埋め込み写像の合成写像
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