順序を反映する写像(順序単射)ならば単射

$\Rightarrow$

$(X,{⪯}_X),(Y,{⪯}_Y)$を順序集合として、$f:X\to Y$を写像とする。
順序集合は反射律が成り立つので反対称律の逆$f\left(a\right)=f\left(b\right)\Rightarrow f\left(a\right){⪯}_{Y}f\left(b\right)\wedge f\left(b\right){⪯}_{Y}f\left(a\right)$が成り立つ。
従って、任意の$a,b\in X$に対し、
$$\begin{array}{rl}f\left(a\right)=f\left(b\right)& \Rightarrow f\left(a\right){⪯}_{Y}f\left(b\right)\wedge f\left(b\right){⪯}_{Y}f\left(a\right)\\ & \Rightarrow a{⪯}_{X}b\wedge b{⪯}_{X}a\\ & \iff a=b\end{array}$$ となるので単射となる。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
$(X,{⪯}_X),(Y,{⪯}_Y)$を順序集合として、$X=\{\left\{a\right\},\left\{b\right\}\},{⪯}_X\iff \subseteq ,Y=\{1,2\},{⪯}_Y\iff \le$とする。
写像$f:X\to Y,f\left(\left\{a\right\}\right)=1,f\left(\left\{b\right\}\right)=2$とすると単射となる。
しかし、$\mathrm{\top }\iff 1\le 2\iff f\left(\left\{a\right\}\right){⪯}_{Y}f\left(\left\{b\right\}\right)\Rightarrow \left\{a\right\}\subseteq \left\{b\right\}\iff \mathrm{\perp }$は偽となり順序を反映する写像ではない。
故に逆は一般的に成り立たない。