対数関数のn回積分
対数関数のn回積分
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\(n=0\)のとき
明らかに成立。\(n=k\)のとき成立すると仮定する
\begin{align*} \left(\log x\right)^{(-(k+1))} & =\int\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k}}{k!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\int\frac{1}{x}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\frac{x^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!} \end{align*} となるので\(n=k+1\)でも成立(*)
故に与式は成り立つ。ページ情報
タイトル | 対数関数のn回積分 |
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分散の基本的性質
\[
V\left(\sum_{i=1}^{n}a_{i}X_{i}\right)=\sum_{i,j}a_{i}a_{j}Cov\left(X_{i},X_{j}\right)
\]
剰余演算の定数倍
\[
\frac{1}{\delta}\mod\left(\alpha,\beta,\gamma\right)=\mod\left(\frac{\alpha}{\delta},\frac{\beta}{\delta},\frac{\gamma}{\delta}\right)
\]
まずは分母から処理しましょう
\[
\frac{2^{11}+3^{8}+6^{5}}{2^{5}+2^{8}+3^{6}}=?
\]
LK推論規則での包含関係
\[
\left(P\rightarrow Q\right)\land\left(R\rightarrow S\right)\Rightarrow\left(P\lor R\right)\rightarrow\left(Q\land S\right)
\]