対数関数のn回積分
対数関数のn回積分
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\[ \left(\log x\right)^{(-n)}=\left(\log x-H_{n}\right)\frac{x^{n}}{n!} \]
\(n=0\)のとき
明らかに成立。\(n=k\)のとき成立すると仮定する
\begin{align*} \left(\log x\right)^{(-(k+1))} & =\int\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k}}{k!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\int\frac{1}{x}\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}dx\\ & =\left(\log x-H_{k}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}-\frac{x^{k+1}}{(k+1)(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k}-\frac{1}{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\\ & =\left(\log x-H_{k+1}\right)\frac{x^{k+1}}{(k+1)!} \end{align*} となるので\(n=k+1\)でも成立(*)
故に与式は成り立つ。ページ情報
タイトル | 対数関数のn回積分 |
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(*)分離公理(距離・正規・正則・T2・T1・T0・その他)同士の関係
\[
\text{距離空間}\Rightarrow\text{正規空間}\Rightarrow\text{正則空間}\Rightarrow T_{2}\text{空間}\Rightarrow T_{1}\text{空間}\Rightarrow T_{0}\text{空間}
\]
6本のマッチで正3角形を4つ作れるかな?
金融関係の色々な定義
ウォリス積分の定義
\[
\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin^{n}\theta d\theta
\]