ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの関係
ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの関係
ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの間には次の関係がある。
\[ \delta_{1,n}=\left(\left(-1\right)^{n}-1\right)B_{n} \]
\(\delta_{m,n}\)はクロネッカーのデルタ
ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの間には次の関係がある。
\[ \delta_{1,n}=\left(\left(-1\right)^{n}-1\right)B_{n} \]
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\(B_{n}\)はベルヌーイ数\(\delta_{m,n}\)はクロネッカーのデルタ
\(n=2m\),\(m\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、左辺は\(\delta_{1,2m}=0\)で、右辺は\(\left(\left(-1\right)^{2m}-1\right)B_{2m}=0B_{2m}=0\)となるので成り立つ。
\(n=2m+1,m\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、
左辺は、
\begin{align*} \delta_{1,2m+1} & =\delta_{0,2m}\\ & =\delta_{0,m} \end{align*} となり、右辺は、
\begin{align*} \left(\left(-1\right)^{2m+1}-1\right)B_{2m+1} & =-2B_{2m+1}\\ & =-2\left(-\frac{1}{2}\delta_{1,2m+1}\right)\\ & =\delta_{1,2m+1}\\ & =\delta_{0,m} \end{align*} となるので成り立つ
従って与式は成り立つ。
\(n=2m+1,m\in\mathbb{N}_{0}\)のとき、
左辺は、
\begin{align*} \delta_{1,2m+1} & =\delta_{0,2m}\\ & =\delta_{0,m} \end{align*} となり、右辺は、
\begin{align*} \left(\left(-1\right)^{2m+1}-1\right)B_{2m+1} & =-2B_{2m+1}\\ & =-2\left(-\frac{1}{2}\delta_{1,2m+1}\right)\\ & =\delta_{1,2m+1}\\ & =\delta_{0,m} \end{align*} となるので成り立つ
従って与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | ベルヌーイ数とクロネッカーのデルタの関係 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kh4ziza4/ |
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奇数ベルヌーイ数
\[
B_{2n-1}=-\frac{1}{2}\delta_{1,n}
\]
ベルヌーイ数の一般項
\[
B_{n}=\sum_{k=0}^{n}\left(-1\right)^{k}k^{n}\sum_{j=k}^{n}\frac{C\left(j,k\right)}{j+1}
\]
ベルヌーイ数の定義
\[
\frac{x}{e^{x}-1}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{B_{k}}{k!}x^{k}
\]
(*)ベルヌーイ数の総和と漸化式
\[
\delta_{0,n}=\sum_{k=0}^{n}C\left(n+1,k\right)B_{k}
\]