始点・終点に関して対称な形を含む総和・積分
始点・終点に関して対称な形を含む総和・積分
総和・積分で始点・終点に関して対称な形を含むとき以下が成り立つ。
分母が始点・終点に関して対称
積の形
総乗
総和・積分で始点・終点に関して対称な形を含むとき以下が成り立つ。
分母が始点・終点に関して対称
(1)
\[ \sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)}{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}=\frac{b-a+1}{2} \](2)
\[ \int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)}{f\left(x\right)+f\left(a+b-x\right)}dx=\frac{b-a}{2} \]積の形
(3)
\[ \sum_{k=a}^{b}k\left\{ f\left(k,a+b-k\right)+f\left(a+b-k,k\right)\right\} =\frac{a+b}{2}\sum_{k=a}^{b}\left\{ f\left(k,a+b-k\right)+f\left(a+b-k,k\right)\right\} \](4)
\[ \int_{a}^{b}x\left\{ f\left(x,a+b-x\right)+f\left(a+b-x,x\right)\right\} dx=\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}\left\{ f\left(x,a+b-x\right)+f\left(a+b-x,x\right)\right\} dx \]総乗
(5)
\[ \prod_{k=a}^{b}\frac{f^{2}\left(k\right)}{f\left(k\right)f\left(a+b-k\right)}=1 \](1)
\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)}{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)} & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)}{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}+\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(a+b-k\right)}{f\left(a+b-k\right)+f\left(k\right)}\right)\\ & =\frac{1}{2}\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}\\ & =\frac{1}{2}\sum_{k=a}^{b}1\\ & =\frac{b-a+1}{2} \end{align*}(2)
\begin{align*} \int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)}{f\left(x\right)+f\left(a+b-x\right)}dx & =\frac{1}{2}\left(\int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)}{f\left(x\right)+f\left(a+b-x\right)}dx+\int_{a}^{b}\frac{f\left(a+b-x\right)}{f\left(a+b-x\right)+f\left(x\right)}dx\right)\\ & =\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)+f\left(a+b-x\right)}{f\left(x\right)+f\left(a+b-x\right)}dx\\ & =\frac{1}{2}\int_{a}^{b}dx\\ & =\frac{b-a}{2} \end{align*}(3)
\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}k\left\{ f\left(k,a+b-k\right)+f\left(a+b-k,k\right)\right\} & =\frac{1}{2}\left\{ \sum_{k=a}^{b}k\left\{ f\left(k,a+b-k\right)+f\left(a+b-k,k\right)\right\} +\sum_{k=a}^{b}\left(a+b-k\right)\left\{ f\left(a+b-k,k\right)+f\left(k,a+b-k\right)\right\} \right\} \\ & =\frac{1}{2}\sum_{k=a}^{b}\left(a+b\right)\left\{ f\left(k,a+b-k\right)+f\left(a+b-k,k\right)\right\} \\ & =\frac{a+b}{2}\sum_{k=a}^{b}\left\{ f\left(k,a+b-k\right)+f\left(a+b-k,k\right)\right\} \end{align*}(4)
\begin{align*} \int_{a}^{b}x\left\{ f\left(x,a+b-x\right)+f\left(a+b-x,x\right)\right\} dx & =\frac{1}{2}\left\{ \int_{a}^{b}x\left\{ f\left(x,a+b-x\right)+f\left(a+b-x,x\right)\right\} dx+\int_{a}^{b}\left(a+b-x\right)\left\{ f\left(a+b-x,x\right)+f\left(x,a+b-x\right)\right\} dx\right\} \\ & =\frac{1}{2}\int_{a}^{b}\left(a+b\right)\left\{ f\left(x,a+b-x\right)+f\left(a+b-x,x\right)\right\} dx\\ & =\frac{a+b}{2}\int_{a}^{b}\left\{ f\left(x,a+b-x\right)+f\left(a+b-x,x\right)\right\} dx \end{align*}(5)
\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}\frac{f^{2}\left(k\right)}{f\left(k\right)f\left(a+b-k\right)} & =\sqrt{\prod_{k=a}^{b}\frac{f^{2}\left(k\right)}{f\left(k\right)f\left(a+b-k\right)}\prod_{k=a}^{b}\frac{f^{2}\left(a+b-k\right)}{f\left(a+b-k\right)f\left(k\right)}}\\ & =\sqrt{\prod_{k=a}^{b}\frac{f^{2}\left(k\right)f^{2}\left(a+b-k\right)}{f^{2}\left(k\right)f^{2}\left(a+b-k\right)}}\\ & =\sqrt{\prod_{k=a}^{b}1}\\ & =1 \end{align*}ページ情報
| タイトル | 始点・終点に関して対称な形を含む総和・積分 |
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総和・総乗・積分の順序・区間反転公式
\[
\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right)
\]
1-1+1-1+…と続く総和
\[
\sum_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{k+1}=\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}
\]
積の形の無限多重根号
\[
\sqrt[a_{1}]{r_{1}\sqrt[a_{2}]{r_{2}\cdots\sqrt[a_{n}]{r_{n}}}}=\exp\left\{ \sum_{k=1}^{n}\left(\Log\left(r_{k}\right)\prod_{j=1}^{k}\frac{1}{a_{j}}\right)\right\}
\]
ラマヌジャンの無限根
\[
1\sqrt{1+2\sqrt{1+3\sqrt{1+4\sqrt{1+\cdots}}}}=3
\]