三角関数と双曲線関数の実部と虚部
三角関数の実部と虚部
(1)
\[ \sin z=\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \](2)
\[ \cos z=\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \](3)
\begin{align*} \tan z & =\frac{\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sin\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)} \end{align*}(1)
\begin{align*} \sin z & =\sin\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(i\Im\left(z\right)\right)+\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \cos z & =\cos\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(i\Im\left(z\right)\right)-\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \tan z & =\tan\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)+\tan\left(i\Im\left(z\right)\right)}{1-\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\tan\left(i\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)+i\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)}{1-i\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\left(1-\tanh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)\right)+i\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)\left(1+\tan^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\right)}{1+\tan^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\tanh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\tan\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh^{-2}\left(\Im\left(z\right)\right)+i\tanh\left(\Im\left(z\right)\right)\cos^{-2}\left(\Re\left(z\right)\right)}{1+\tan^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\tanh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sin^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sin\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)}\tag{*}\\ & =\frac{\sin\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+1+\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)-1}\\ & \frac{\sin\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Re\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Im\left(z\right)\right)} \end{align*}双曲線関数の実部と虚部
(1)
\begin{align*} \sinh z & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \cosh z & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \tanh z & =\frac{\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Im\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)} \end{align*}(1)
\begin{align*} \sinh z & =\frac{1}{i}\sin\left(iz\right)\\ & =-i\left(\sin\left(\Re\left(iz\right)\right)\cosh\left(\Im\left(iz\right)\right)+i\cos\left(\Re\left(iz\right)\right)\sinh\left(\Im\left(iz\right)\right)\right)\\ & =-i\left(\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\right)\\ & =\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)-i\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(1)-2
\begin{align*} \sinh z & =\sinh\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(i\Im\left(z\right)\right)+\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \cosh z & =\cos\left(iz\right)\\ & =\cos\left(\Re\left(iz\right)\right)\cosh\left(\Im\left(iz\right)\right)-i\sin\left(\Re\left(iz\right)\right)\sinh\left(\Im\left(iz\right)\right)\\ & =\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)-i\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\\ & =\cos\left(\Im\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\sinh\left(\Re\left(z\right)\right) \end{align*}(2)-2
\begin{align*} \cosh z & =\cosh\left(\Re\left(z\right)+i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(i\Im\left(z\right)\right)+\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\sinh\left(i\Im\left(z\right)\right)\\ & =\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\sin\left(\Im\left(z\right)\right) \end{align*}(3)
\begin{align*} \tanh z & =\frac{1}{i}\tan\left(iz\right)\\ & =-i\frac{\sin\left(\Re\left(iz\right)\right)\cos\left(\Re\left(iz\right)\right)+i\sinh\left(\Im\left(iz\right)\right)\cosh\left(\Im\left(iz\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Re\left(iz\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Im\left(iz\right)\right)}\\ & =-i\frac{\sin\left(-\Im\left(z\right)\right)\cos\left(-\Im\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(-\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =-i\frac{-\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)+i\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\\ & =\frac{\sinh\left(\Re\left(z\right)\right)\cosh\left(\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(\Im\left(z\right)\right)\cos\left(\Im\left(z\right)\right)}{\cos^{2}\left(\Im\left(z\right)\right)+\sinh^{2}\left(\Re\left(z\right)\right)}\tag{*}\\ & =\frac{\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Im\left(z\right)\right)+1+\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)-1}\\ & =\frac{\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)+i\sin\left(2\Im\left(z\right)\right)}{\cos\left(2\Im\left(z\right)\right)+\sinh\left(2\Re\left(z\right)\right)} \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 三角関数と双曲線関数の実部と虚部 |
| URL | https://www.nomuramath.com/kyzzmnqu/ |
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三角関数(双曲線関数)の対数とリーマン・ゼータ関数
\[
\log\left(\sin\left(\pi x\right)\right)=\log\left(\pi x\right)-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{\zeta\left(2k\right)}{k}x^{2k}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の負角
\[
\Sin^{\bullet}\left(-z\right)=-\Sin^{\bullet}z
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の微分
\[
\frac{d}{dx}\sin^{\bullet}x=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}
\]
x tan(x)とx tanh(x)の積分
\[
\int z\tan^{\pm1}\left(z\right)dz=i^{\pm1}\left\{ \frac{1}{2}z^{2}-iz\Li_{1}\left(\mp e^{2iz}\right)+\frac{1}{2}\Li_{2}\left(\mp e^{2iz}\right)\right\} +C
\]