部分積分と繰り返し部分積分
部分積分と繰り返し部分積分
\[ \int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \]
(1)部分積分
\[ \int f(x)g(x)dx=f^{(-1)}(x)g(x)-\int f^{(-1)}(x)g^{(1)}(x)dx \](2)繰り返し部分積分
\(n\in\mathbb{N}_{0}\)とする。\[ \int f(x)g(x)dx=\sum_{k=0}^{n-1}\left(-1\right)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \]
(1)
\begin{align*} \int f(x)g(x)dx & =\int\left\{ \left(f^{(-1)}(x)g(x)\right)'-f^{(-1)}(x)g^{(1)}(x)\right\} dx\\ & =f^{(-1)}(x)g(x)-\int f^{(-1)}(x)g^{(1)}(x)dx \end{align*}(2)
\[ \int f^{(-k)}(x)g^{(k)}(x)dx=f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)-\int f^{(-(k+1))}(x)g^{(k+1)}(x)dx \] より、\[ (-1)^{k+1}\int f^{(-(k+1))}(x)g^{(k+1)}(x)dx=(-1)^{k}\int f^{(-k)}(x)g^{(k)}(x)dx+(-1)^{k+1}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x) \] となるので、
\begin{align*} \int f(x)g(x)dx & =\sum_{k=0}^{n-1}\left((-1)^{k}\int f^{(-k)}(x)g^{(k)}(x)dx-(-1)^{k+1}\int f^{(-(k+1))}(x)g^{(k+1)}(x)dx\right)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left(-(-1)^{k+1}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)\right)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}\left((-1)^{k}f^{(-(k+1))}(x)g^{(k)}(x)\right)+(-1)^{n}\int f^{(-n)}(x)g^{(n)}(x)dx \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 部分積分と繰り返し部分積分 |
| URL | https://www.nomuramath.com/l2cjw2q1/ |
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逆関数の微分
\[
\frac{df^{\bullet}(x)}{dx}=\left(\frac{df(f^{\bullet}(x))}{df^{\bullet}(x)}\right)^{-1}
\]
微分・原始関数・定積分・不定積分の定義
\[
\frac{df(x)}{dx}=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}
\]
対数を含む積分
\[
\int\log\left(x\right)f\left(x\right)dx=\left[\frac{d}{dt}\int x^{t}f\left(x\right)dx\right]_{t=0}
\]
反復積分に関するコーシーの公式
\[
\int_{a}^{x}\int_{a}^{y_{1}}\cdots\int_{a}^{y_{n-1}}f\left(y_{n}\right)dy_{n}\cdots dy_{1}=\frac{1}{\left(n-1\right)!}\int_{a}^{x}\left(x-t\right)^{n-1}f\left(t\right)dt
\]