偶関数・奇関数のフーリエ変換とフーリエ逆変換
偶関数・奇関数のフーリエ変換とフーリエ逆変換
すなわち、
\[ \mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) \] となる。
すなわち、
\[ \mathcal{F}_{x}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=-\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) \] となる。
(1)
偶関数\(f_{e}\left(x\right)\)のフーリエ変換とフーリエ逆変換は等しくなる。すなわち、
\[ \mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) \] となる。
(2)
奇関数\(f_{o}\left(x\right)\)のフーリエ変換とフーリエ逆変換は符号が異なる。すなわち、
\[ \mathcal{F}_{x}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=-\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) \] となる。
フーリエ変換の定義による違い
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right) & \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\nu\right)\\ =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ikx}dx & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-i\nu x}dx\\ \hline \mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & \mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(k\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(k\right) & \mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\nu\right)=2\pi\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\nu\right)\\ \hline \mathcal{F}_{x}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=-\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & \mathcal{F}_{x}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(k\right)=-\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(k\right) & \mathcal{F}_{x}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\nu\right)=-2\pi\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\nu\right) \\\hline \end{array} \]
\[ \begin{array}{|c|c|c|} \hline \mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right) & \mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\nu\right)\\ =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx & =\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-ikx}dx & =\int_{-\infty}^{\infty}f\left(x\right)e^{-i\nu x}dx\\ \hline \mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & \mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(k\right)=\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(k\right) & \mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\nu\right)=2\pi\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\nu\right)\\ \hline \mathcal{F}_{x}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=-\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & \mathcal{F}_{x}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(k\right)=-\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(k\right) & \mathcal{F}_{x}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\nu\right)=-2\pi\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\nu\right) \\\hline \end{array} \]
(1)
\begin{align*} \mathcal{F}_{x}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & =\int_{-\infty}^{\infty}f_{e}\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\\ & =-\int_{\infty}^{-\infty}f_{e}\left(-x\right)e^{2\pi i\xi x}dx\cmt{x\rightarrow-x}\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}f_{e}\left(x\right)e^{2\pi i\xi x}dx\cmt{\because f_{e}\left(x\right)=f_{e}\left(-x\right)}\\ & =\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{e}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) \end{align*}(2)
\begin{align*} \mathcal{F}_{x}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & =\int_{-\infty}^{\infty}f_{o}\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\\ & =-\int_{\infty}^{-\infty}f_{o}\left(-x\right)e^{2\pi i\xi x}dx\cmt{x\rightarrow-x}\\ & =-\int_{-\infty}^{\infty}f_{o}\left(x\right)e^{2\pi i\xi x}dx\cmt{\because f_{o}\left(-x\right)=-f_{o}\left(x\right)}\\ & =-\mathcal{F}_{x}^{\bullet}\left[f_{o}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) \end{align*}
ページ情報
| タイトル | 偶関数・奇関数のフーリエ変換とフーリエ逆変換 |
| URL | https://www.nomuramath.com/l2mght63/ |
| SNSボタン |
フーリエ変換の定義による違い
\[
\mathcal{F}_{2,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(k\right)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\mathcal{F}_{1,x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\frac{k}{2\pi}\right)
\]
フーリエ変換でのパーセバルの等式
\[
\int_{-\infty}^{\infty}\overline{f\left(x\right)}g\left(x\right)dx=\int_{-\infty}^{\infty}\overline{F\left(\xi\right)}G\left(\xi\right)d\xi
\]
フーリエ変換の性質
\[
\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)*g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)=\mathcal{F}_{x}\left[f\left(x\right)\right]\left(\xi\right)\mathcal{F}_{x}\left[g\left(x\right)\right]\left(\xi\right)
\]
ポアソン和公式
\[
\sum_{n=-\infty}^{\infty}f\left(n\right)=\sum_{\xi=-\infty}^{\infty}\hat{f}\left(\xi\right)
\]