ベータ関数

２項係数とベータ関数の関係

by nomura · 2020年9月23日

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２項係数とベータ関数の関係

(1)

B (x, y) = \frac{x + y}{x y C (x + y, x)}

(2)

C (x, y) = \frac{1}{(x + 1) B (x - y + 1, y + 1)}

(3)

B (x, y) = \frac{- π}{x \sin (π x) B (x + y, - x)}

(4)

C (x, y) = - \frac{y \sin (π y)}{C (x - y, x) π}

(5)

B (x, y) = \frac{C (y - 1, - x) π}{\sin (π x)}

(6)

C (x . y) = \frac{- B (x + 1, - y) \sin (π y)}{π}

(1)

\begin{aligned} B (x, y) & = \frac{(x - 1)! (y - 1)!}{(x + y - 1)!} \\ = \frac{x + y}{x y} \frac{x! y!}{(x + y)!} \\ = \frac{x + y}{x y C (x + y, x)} \end{aligned}

(2)

\begin{aligned} C (x, y) & = \frac{x!}{y! (x - y)!} \\ = \frac{Γ (x + 1)}{Γ (y + 1) Γ (x - y + 1)} \\ = \frac{1}{x + 1} \frac{Γ (x + 2)}{Γ (y + 1) Γ (x - y + 1)} \\ = \frac{1}{(x + 1) B (x - y + 1, y + 1)} \end{aligned}

(3)

\begin{aligned} B (x, y) & = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)} \\ = Γ (x) Γ (1 - x) \frac{Γ (y)}{- x Γ (- x) Γ (x + y)} \\ = \frac{- π}{x \sin (π x) B (x + y, - x)} \end{aligned}

(4)

\begin{aligned} C (x, y) & = \frac{Γ (x + 1)}{Γ (x - y + 1) Γ (y + 1)} \\ = \frac{Γ (x + 1) Γ (1 - y)}{Γ (x - y + 1) Γ (y + 1) Γ (1 - y)} \\ = \frac{1}{C (x - y, x) y Γ (y) Γ (1 - y)} \\ = \frac{\sin (π y)}{C (x - y, x) π y} \end{aligned}

(5)

\begin{aligned} B (x, y) & = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)} \\ = \frac{(y - 1)!}{(x + y - 1)! (- x)!} Γ (x) Γ (1 - x) \\ = \frac{C (y - 1, - x) π}{\sin (π x)} \end{aligned}

(6)

\begin{aligned} C (x . y) & = \frac{x!}{y! (x - y)!} \\ = \frac{Γ (x + 1) Γ (1 - y)}{y Γ (y) Γ (1 - y) Γ (x - y + 1)} \\ = \frac{- y Γ (x + 1) Γ (- y)}{y Γ (y) Γ (1 - y) Γ (x - y + 1)} \\ = \frac{- B (x + 1, - y) \sin (π y)}{π} \end{aligned}

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タイトル	２項係数とベータ関数の関係
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ベータ関数と2項係数の逆数の級数表示

B (x, y) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{C (k - y, k)}{x + k}

ベータ関数とガンマ関数の関係

B (x, y) = \frac{Γ (x) Γ (y)}{Γ (x + y)}

ベータ関数の絶対収束条件

ベータ関数

B (p, q)

ℜ (p) > 0 \land ℜ (q) > 0

で絶対収束

ベータ関数になる積分

\int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{x} t \cos^{y} t d t = \frac{1}{2} B (\frac{x + 1}{2}, \frac{y + 1}{2})