4角形が円に外接するときの対辺の和
4角形が円に外接するときの対辺の和
4角形\(ABCD\)が円に外接するならば、対辺の和は等しくなる。
すなわち、
\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right| \] となる。
4角形\(ABCD\)が円に外接するならば、対辺の和は等しくなる。
すなわち、
\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right| \] となる。
逆は一般的に成り立ちません。
正方形でないひし形を考えればわかります。
正方形でないひし形を考えればわかります。
辺\(AB\)と円の接点を\(P\)、辺\(BC\)と円の接点を\(Q\)、辺\(CD\)と円の接点を\(R\)、辺\(DA\)と円の接点を\(S\)とする。
このとき、\(\left|\overrightarrow{AS}\right|=\left|\overrightarrow{AP}\right|,\left|\overrightarrow{BP}\right|=\left|\overrightarrow{BQ}\right|,\left|\overrightarrow{CQ}\right|=\left|\overrightarrow{CR}\right|,\left|\overrightarrow{DR}\right|=\left|\overrightarrow{DS}\right|\)となっている。
これより、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right| & =\left|\overrightarrow{AP}\right|+\left|\overrightarrow{PB}\right|+\left|\overrightarrow{CR}\right|+\left|\overrightarrow{RD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{AS}\right|+\left|\overrightarrow{QB}\right|+\left|\overrightarrow{CQ}\right|+\left|\overrightarrow{SD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{BQ}\right|+\left|\overrightarrow{QC}\right|+\left|\overrightarrow{AS}\right|+\left|\overrightarrow{SD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{AD}\right| \end{align*} となるので与式は成り立つ。
このとき、\(\left|\overrightarrow{AS}\right|=\left|\overrightarrow{AP}\right|,\left|\overrightarrow{BP}\right|=\left|\overrightarrow{BQ}\right|,\left|\overrightarrow{CQ}\right|=\left|\overrightarrow{CR}\right|,\left|\overrightarrow{DR}\right|=\left|\overrightarrow{DS}\right|\)となっている。
これより、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right| & =\left|\overrightarrow{AP}\right|+\left|\overrightarrow{PB}\right|+\left|\overrightarrow{CR}\right|+\left|\overrightarrow{RD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{AS}\right|+\left|\overrightarrow{QB}\right|+\left|\overrightarrow{CQ}\right|+\left|\overrightarrow{SD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{BQ}\right|+\left|\overrightarrow{QC}\right|+\left|\overrightarrow{AS}\right|+\left|\overrightarrow{SD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{AD}\right| \end{align*} となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 4角形が円に外接するときの対辺の和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/l3ciqws8/ |
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3角形の垂心と円に内接する4角形
円に外接する4角形の面積
\[
S=\sqrt{abcd}\sin\frac{A+C}{2}
\]
5心と頂点までの距離
\[
\left|AG\right|^{2}=\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{9}
\]
5心(重心・垂心・内心・外心・傍心)の位置
\[
\boldsymbol{H}=\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A\tan B\tan C}
\]