4角形が円に外接するときの対辺の和
4角形が円に外接するときの対辺の和
4角形\(ABCD\)が円に外接するならば、対辺の和は等しくなる。
すなわち、
\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right| \] となる。
4角形\(ABCD\)が円に外接するならば、対辺の和は等しくなる。
すなわち、
\[ \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right|=\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{DA}\right| \] となる。
逆は一般的に成り立ちません。
正方形でないひし形を考えればわかります。
正方形でないひし形を考えればわかります。
辺\(AB\)と円の接点を\(P\)、辺\(BC\)と円の接点を\(Q\)、辺\(CD\)と円の接点を\(R\)、辺\(DA\)と円の接点を\(S\)とする。
このとき、\(\left|\overrightarrow{AS}\right|=\left|\overrightarrow{AP}\right|,\left|\overrightarrow{BP}\right|=\left|\overrightarrow{BQ}\right|,\left|\overrightarrow{CQ}\right|=\left|\overrightarrow{CR}\right|,\left|\overrightarrow{DR}\right|=\left|\overrightarrow{DS}\right|\)となっている。
これより、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right| & =\left|\overrightarrow{AP}\right|+\left|\overrightarrow{PB}\right|+\left|\overrightarrow{CR}\right|+\left|\overrightarrow{RD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{AS}\right|+\left|\overrightarrow{QB}\right|+\left|\overrightarrow{CQ}\right|+\left|\overrightarrow{SD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{BQ}\right|+\left|\overrightarrow{QC}\right|+\left|\overrightarrow{AS}\right|+\left|\overrightarrow{SD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{AD}\right| \end{align*} となるので与式は成り立つ。
このとき、\(\left|\overrightarrow{AS}\right|=\left|\overrightarrow{AP}\right|,\left|\overrightarrow{BP}\right|=\left|\overrightarrow{BQ}\right|,\left|\overrightarrow{CQ}\right|=\left|\overrightarrow{CR}\right|,\left|\overrightarrow{DR}\right|=\left|\overrightarrow{DS}\right|\)となっている。
これより、
\begin{align*} \left|\overrightarrow{AB}\right|+\left|\overrightarrow{CD}\right| & =\left|\overrightarrow{AP}\right|+\left|\overrightarrow{PB}\right|+\left|\overrightarrow{CR}\right|+\left|\overrightarrow{RD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{AS}\right|+\left|\overrightarrow{QB}\right|+\left|\overrightarrow{CQ}\right|+\left|\overrightarrow{SD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{BQ}\right|+\left|\overrightarrow{QC}\right|+\left|\overrightarrow{AS}\right|+\left|\overrightarrow{SD}\right|\\ & =\left|\overrightarrow{BC}\right|+\left|\overrightarrow{AD}\right| \end{align*} となるので与式は成り立つ。
ページ情報
| タイトル | 4角形が円に外接するときの対辺の和 |
| URL | https://www.nomuramath.com/l3ciqws8/ |
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4角形の対辺同士の内積
\[
\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\frac{1}{2}\left(b^{2}+d^{2}-p^{2}-q^{2}\right)
\]
4角形の対角線と面積の関係
\[
S=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{AC}\times\overrightarrow{DB}\right)
\]
円となるための条件
\[
\frac{a^{2}+b^{2}}{4}-c>0
\]
オイラーの定理
\[
p^{2}q^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos\left(A+C\right)
\]