(1)

オイラー多項式の定義
\[ E_{n}\left(x\right)=\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n-k} \] に\(x=\frac{1}{2}\)を代入すると、
\begin{align*} E_{n}\left(\frac{1}{2}\right) & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\frac{E_{k}}{2^{k}}\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\right)^{n-k}\\ & =C\left(n,n\right)\frac{E_{n}}{2^{n}}\\ & =\frac{E_{n}}{2^{n}} \end{align*} となる。
従って与式は成り立つ。

(2)

オイラー多項式とベルヌーイ数の関係より、
\begin{align*} E_{n-1}\left(0\right) & =\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}0^{n-k}\\ & =\frac{2}{n}\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)\left(1-2^{k}\right)B_{k}\delta_{n,k}\\ & =\frac{2}{n}C\left(n,n\right)\left(1-2^{n}\right)B_{n}\\ & =-\frac{2}{n}\left(2^{n}-1\right)B_{n} \end{align*} となるので\(n\rightarrow n+1\)とすれば、
\[ E_{n}\left(0\right)=-\frac{2}{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1} \] となり与式は成り立つ。

(3)

オイラー多項式同士の関係、
\[ E_{n}\left(1-x\right)=\left(-1\right)^{n}E_{n}\left(x\right) \] で\(x=0\)とすれば、
\begin{align*} E_{n}\left(1\right) & =\left(-1\right)^{n}E_{n}\left(0\right)\\ & =\left(-1\right)^{n}\left(-\frac{2}{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1}\right)\\ & =\left(-1\right)^{n+1}\frac{2}{n+1}\left(2^{n+1}-1\right)B_{n+1} \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(4)

略

(5)

略