(1)

反射律

\(\bigcup\mathcal{P}=A\)なので\(x\in A\)のとき、\(x\sim x\Leftrightarrow\exists P\in\mathcal{P},x\in P\Leftrightarrow x\in\bigcup\mathcal{P}\Leftrightarrow x\in A\Leftrightarrow\top\)となる。

対称律

\(x\sim y\Leftrightarrow\exists P\in\mathcal{P},x\in P\land y\in P=y\sim x\)となるので対称律を満たす。

推移律

\(x\sim y\land y\sim z\)のとき、\(P_{1},P_{2}\in\mathcal{P}\)とすると\(y\in P_{1}\cap P_{2}\Leftrightarrow y\in P_{1}\land P_{1}=P_{2}\)なので、
\begin{align*} x\sim y\land y\sim z & \Leftrightarrow\left(\exists P_{1}\in\mathcal{P},x\in P_{1}\land y\in P_{1}\right)\land\left(\exists P_{2}\in\mathcal{P},y\in P_{2}\land z\in P_{2}\right)\\ & \Leftrightarrow\exists P_{1},P_{2}\in\mathcal{P},x\in P_{1}\land y\in P_{1}\land y\in P_{2}\land z\in P_{2}\\ & \Leftrightarrow\exists P_{1},P_{2}\in\mathcal{P},x\in P_{1}\land y\in P_{1}\cap P_{2}\land z\in P_{2}\\ & \Leftrightarrow\exists P_{1},P_{2}\in\mathcal{P},x\in P_{1}\land y\in P_{1}\land z\in P_{1}\land P_{1}=P_{2}\\ & \Leftrightarrow\exists P_{1}\in\mathcal{P},x\in P_{1}\land y\in P_{1}\land z\in P_{1}\\ & \Rightarrow\exists P_{1}\in\mathcal{P},x\in P_{1}\land z\in P_{1}\\ & \Leftrightarrow x\sim z \end{align*} となり、\(x\sim y\land y\sim z\Rightarrow x\sim z\)なので推移律を満たす。

-

これらより、反射律・対称律・推移律を満たすので同値関係となる。

(2)

空集合

\(x\in A\)の同値類を\(C\left(x\right)=\left\{ y\in A;x\sim y\right\} \)で表す。
任意の\(x\in A\)に対し、\(x\in C\left(x\right)\ne\emptyset\)なので、\(\emptyset\notin A/\sim\)となる。

和集合

明らかに\(\bigcup\left(A/\sim\right)\subseteq A\)となる。
また、任意の\(x\in A\)に対し、\(x\in C\left(x\right)\)なので、和集合は\(A=\bigcup_{x\in A}x\subseteq\bigcup_{x\in A}C\left(x\right)=\bigcup\left(A/\sim\right)\)となり\(A\subseteq\bigcup\left(A/\sim\right)\)となる。
これより、\(\subseteq\)と\(\supseteq\)が成り立つので、\(\bigcup\left(A/\sim\right)=A\)となる。

積集合

同値類の性質より、\(\forall a,b\in A,C\left(a\right)=C\left(b\right)\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)\ne\emptyset\)なので、\(\forall C\left(a\right),C\left(b\right)\in A/\sim,C\left(a\right)\ne C\left(b\right)\Leftrightarrow C\left(a\right)\cap C\left(b\right)=\emptyset\)となる。

-

これらより同値関係\(\sim\)による同値類の商集合\(A/\sim\)は\(A\)の分割となる。

(3)

反射律

任意の\(a\in A\)について、ある\(\lambda\in\Lambda\)が一意的に存在し、\(A=\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}A_{\lambda}\)なので\(a\in A_{\lambda}\)となる。
これより、\(a,a\in A_{\lambda}\)となるので、\(a\sim a\)となり反射律を満たす。

対称律

任意に\(a,b\in A\)をとると、\(a\sim b\)ならば、ある\(\lambda\in\Lambda\)が一意的に存在し、\(a,b\in A_{\lambda}\)となる。
これより、\(a,b\in A_{\lambda}\)となるので\(b,a\in A_{\lambda}\)でも同じなので\(b\sim a\)となる。
従って対称律を満たす。

推移律

任意に\(a,b,c\in A\)をとると、\(a\sim b,b\sim c\)ならばある\(\lambda,\mu\in\Lambda\)が一意的に存在し、\(a,b\in A_{\lambda};b,c\in A_{\mu}\)となる。
このとき、\(b\in A_{\lambda},b\in A_{\mu}\)より\(b\in A_{\lambda}\cap A_{\mu}\)となり、\(\left\{ A_{\lambda};\lambda\in\Lambda\right\} \)は直和分解なので\(A_{\lambda}\cap A_{\mu}\ne\emptyset\Leftrightarrow\lambda=\mu\)であるので\(\lambda=\mu\)となる。
従って、\(a,b,c\in A_{\lambda}=A_{\mu}\)となるので、\(a\sim c\)となり推移律を満たす。

-

これらより、\(\sim\)は反射律・対称律・推移律を満たすので\(\sim\)は同値関係となる。
故に題意は成り立つ。

(4)

完全代表系は\(X/\sim=\left\{ C\left(x\right);x\in\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\right\} \)を満たし、\(X/\sim\)は\(X\)の分割であるので\(X=\bigsqcup X/\sim\)となるので、
\begin{align*} X & =\bigsqcup X/\sim\\ & =\bigsqcup\left\{ C\left(x\right);x\in\left(x_{\lambda}\right)_{\lambda\in\Lambda}\right\} \\ & =\bigsqcup_{\lambda\in\Lambda}C\left(x_{\lambda}\right) \end{align*} となるので題意は成り立つ。