総和・総乗・積分の順序・区間反転公式

by nomura · 2024年3月1日

総和・総乗・積分の順序・区間反転公式
総和・総乗・積分について以下の順序・区間の反転が成り立つ。

順序反転

(1)総和の順序反転

\[ \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right) \]

(2)総乗の順序反転

\[ \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right) \]

(3)積分の順序反転(キング・プロパティ)

\[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}f\left(a+b-x\right)dx \]
区間反転

(4)総和の区間反転

\[ \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=-b}^{-a}f\left(k+a+b\right) \]

(5)総乗の区間反転

\[ \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod_{k=-b}^{-a}f\left(k+a+b\right) \]

(6)積分の区間反転

\[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=-\int_{b}^{a}f\left(a+b-x\right)dx \]
順序区間反転

(7)総和の順序区間反転

\[ \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\sum_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right) \]

(8)総乗の順序区間反転

\[ \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right) \]

(9)積分の順序区間反転

\[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{-b}^{-a}f\left(-x\right)dx \]

(1)

順序反転により、
\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)+\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)\right)\\ & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=a}^{b}f\left(k\right)+\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right)\right)\\ & =\sum_{k=a}^{b}\frac{f\left(k\right)+f\left(a+b-k\right)}{2} \end{align*} とできる。
同様に
\[ \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right)=\prod_{k=a}^{b}\sqrt{f\left(k\right)f\left(a+b-k\right)} \] \[ \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx=\int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)+f\left(a+b-x\right)}{2}dx \] も成り立つ。

(2)

\(\frac{a+b}{2}\)を軸として関数\(f\left(x\right)\)が\(x=\frac{a+b}{2}\)を軸として、偶関数\(f_{e}\left(x\right)\)と奇関数\(f_{o}\left(x\right)\)の和\(f\left(x\right)=f_{e}\left(x\right)+f_{o}\left(x\right)\)で表されるとする。
このとき、\(x=\frac{a+b}{2}\)を軸として、\(f_{e}\left(x\right)\)は偶関数なので、
\[ f_{e}\left(\frac{a+b}{2}-x\right)=f_{e}\left(\frac{a+b}{2}+x\right) \] となり、\(x=\frac{a+b}{2}\)を軸として、\(f_{o}\left(x\right)\)は奇関数なので、
\[ f_{o}\left(\frac{a+b}{2}-x\right)=-f_{o}\left(\frac{a+b}{2}+x\right) \] となる。
これより、積分の順序反転を使うと、
\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & =\int_{a}^{b}\frac{f\left(x\right)+f\left(a+b-x\right)}{2}dx\\ & =\int_{a}^{b}\frac{f\left(\frac{a+b}{2}-\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)+f\left(\frac{a+b}{2}+\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)}{2}dx\\ & =\int_{a}^{b}\frac{f_{e}\left(\frac{a+b}{2}-\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)+f_{o}\left(\frac{a+b}{2}-\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)+f_{e}\left(\frac{a+b}{2}+\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)+f_{o}\left(\frac{a+b}{2}+\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)}{2}dx\\ & =\int_{a}^{b}\frac{f_{e}\left(\frac{a+b}{2}-\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)+f_{o}\left(\frac{a+b}{2}-\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)+f_{e}\left(\frac{a+b}{2}-\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)-f_{o}\left(\frac{a+b}{2}-\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)}{2}dx\\ & =\int_{a}^{b}f_{e}\left(\frac{a+b}{2}-\left(\frac{a+b}{2}-x\right)\right)dx\\ & =\int_{a}^{b}f_{e}\left(x\right)dx \end{align*} となり、積分区間の中心を軸として、偶関数のみが残る。

(1)

\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =f\left(a\right)+f\left(a+1\right)+\cdots+f\left(b-1\right)+f\left(b\right)\\ & =f\left(b\right)+f\left(b-1\right)+\cdots+f\left(a+1\right)+f\left(a\right)\\ & =\sum_{k=0}^{b-a}f\left(b-k\right)\\ & =\sum_{k=a}^{b}f\left(b-\left(k-a\right)\right)\cmt{k\rightarrow k-a}\\ & =\sum_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right) \end{align*}

(2)

(1)より、
\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\prod_{k=a}^{b}\exp\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\left(\sum_{k=a}^{b}\Log f\left(k\right)\right)\\ & =\exp\left(\sum_{k=a}^{b}\Log f\left(a+b-k\right)\right)\\ & =\prod_{k=a}^{b}\exp\left(\Log f\left(a+b-k\right)\right)\\ & =\prod_{k=a}^{b}f\left(a+b-k\right) \end{align*}

(3)

\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & =-\int_{b-a}^{0}f\left(b-x\right)dx\cmt{x\rightarrow b-x}\\ & =\int_{0}^{b-a}f\left(b-x\right)dx\\ & =\int_{a}^{b}f\left(a+b-x\right)dx \end{align*}

(4)

\(k\rightarrow j+a+b\)とすれば\(k:a\rightarrow b\)のとき\(j:-b\rightarrow-a\)となるので、
\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\sum_{j=-b}^{-a}f\left(j+a+b\right)\\ & =\sum_{k=-b}^{-a}f\left(k+a+b\right) \end{align*} となり与式は成り立つ。

(5)

(4)より、
\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\prod_{k=a}^{b}\exp\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\sum_{k=a}^{b}\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\sum_{k=-b}^{-a}\Log f\left(k+a+b\right)\\ & =\prod_{k=-b}^{-a}\exp\Log f\left(k+a+b\right)\\ & =\prod_{k=-b}^{-a}f\left(k+a+b\right) \end{align*}

(6)

\(x=a+b-y\)とおけば\(x:a\rightarrow b\)のとき\(y:b\rightarrow a\)となるので、
\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & =-\int_{b}^{a}f\left(a+b-y\right)dy \end{align*} となるので与式は成り立つ。

(7)

\begin{align*} \sum_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =f\left(a\right)+f\left(a+1\right)+\cdots+f\left(b\right)\\ & =f\left(b\right)+f\left(b-1\right)+\cdots+f\left(b-\left(b-a\right)\right)\\ & =\sum_{k=0}^{b-a}f\left(b-k\right)\\ & =\sum_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right)\cmt{k\rightarrow k+b} \end{align*}

(8)

(7)より、
\begin{align*} \prod_{k=a}^{b}f\left(k\right) & =\prod_{k=a}^{b}\exp\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\sum_{k=a}^{b}\Log f\left(k\right)\\ & =\exp\sum_{k=-b}^{-a}\Log f\left(-k\right)\\ & =\prod_{k=-b}^{-a}\exp\Log f\left(-k\right)\\ & =\prod_{k=-b}^{-a}f\left(-k\right) \end{align*}

(9)

\begin{align*} \int_{a}^{b}f\left(x\right)dx & =-\int_{-a}^{-b}f\left(-x\right)dx\cmt{x\rightarrow-x}\\ & =\int_{-b}^{-a}f\left(-x\right)dx \end{align*}