上限位相と下限位相の定義
上限位相と下限位相の定義
\[ \mathcal{B}_{u}=\left\{ \left(a,b\right];a,b\in\mathbb{R},a<b\right\} \] とした位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)を上限位相(upper limit topology)という。
\[ \mathcal{B}_{l}=\left\{ \left[a,b\right);a,b\in\mathbb{R},a<b\right\} \] とした位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)を下限位相(lower limit topology)という。
(1)上限位相
全体集合を実数\(\mathbb{R}\)として、開基\(\mathcal{B}_{u}\)を左半開区間の族\[ \mathcal{B}_{u}=\left\{ \left(a,b\right];a,b\in\mathbb{R},a<b\right\} \] とした位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{u}\right)\)を上限位相(upper limit topology)という。
(2)下限位相
同様に開基\(\mathcal{B}_{l}\)を右半開区間の族\[ \mathcal{B}_{l}=\left\{ \left[a,b\right);a,b\in\mathbb{R},a<b\right\} \] とした位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)を下限位相(lower limit topology)という。
下限位相\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)はゾルゲンフライ直線ともいう。
また、ゾルゲンフライ直線\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)同士の直積\(\left(\mathbb{R}\times\mathbb{R},\mathcal{O}_{l\times l}\right)\)をゾルゲンフライ平面という。
ゾルゲンフライ平面は開基が\(\mathcal{B}_{l\times l}=\left\{ \left[a,b\right)\times\left[c,d\right);a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\} \)となります。
また、ゾルゲンフライ直線\(\left(\mathbb{R},\mathcal{O}_{l}\right)\)同士の直積\(\left(\mathbb{R}\times\mathbb{R},\mathcal{O}_{l\times l}\right)\)をゾルゲンフライ平面という。
ゾルゲンフライ平面は開基が\(\mathcal{B}_{l\times l}=\left\{ \left[a,b\right)\times\left[c,d\right);a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\} \)となります。
上限位相では\(\left(0,1\right],\left(0,1\right),\left(0,\infty\right),\left(-\infty,0\right]\)などが開集合になり、\(\left(0,1\right],\left[0,1\right],\left(0,\infty\right),\left(-\infty,0\right]\)などが閉集合になります。
ページ情報
| タイトル | 上限位相と下限位相の定義 |
| URL | https://www.nomuramath.com/lc0wdth1/ |
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上限位相と下限位相より強ければ離散位相
上限位相空間・下限位相空間はコンパクトでない
上限位相空間・下限位相空間は非連結
上限位相空間・下限位相空間は距離化不可能