上限位相と下限位相の定義

上限位相と下限位相の定義

(1)上限位相

全体集合を実数Rとして、開基Buを左半開区間の族
Bu={(a,b];a,bR,a<b} とした位相(R,Ou)を上限位相(upper limit topology)という。

(2)下限位相

同様に開基Blを右半開区間の族
Bl={[a,b);a,bR,a<b} とした位相(R,Ol)を下限位相(lower limit topology)という。
下限位相(R,Ol)はゾルゲンフライ直線ともいう。
また、ゾルゲンフライ直線(R,Ol)同士の直積(R×R,Ol×l)をゾルゲンフライ平面という。
ゾルゲンフライ平面は開基がBl×l={[a,b)×[c,d);a,b,c,dR}となります。
上限位相では(0,1],(0,1),(0,),(,0]などが開集合になり、(0,1],[0,1],(0,),(,0]などが閉集合になります。
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上限位相と下限位相の定義
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