そのままだとΓ(0)になる積分

by nomura · 2024年3月27日

そのままだとΓ(0)になる積分
\(n\in\mathbb{N}\)とする。
\[ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx=H_{n-1}-\gamma \]

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\(H_{n}\)は調和数
\(\gamma\)はオイラー・マスケローニ定数

被積分関数第1項を積分すると、
\begin{align*} \int_{0}^{\infty}x^{-1}e^{-x}dx & =\Gamma\left(0\right)\\ & =\infty \end{align*} となります。

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =-\gamma\\ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-2x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =1-\gamma\\ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-3x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =\frac{3}{2}-\gamma\\ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-4x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =\frac{11}{6}-\gamma\\ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-5x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =\frac{25}{12}-\gamma\\ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-6x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =\frac{137}{60}-\gamma\\ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-7x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =\frac{49}{20}-\gamma\\ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-8x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =\frac{363}{140}-\gamma\\ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-9x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =\frac{761}{280}-\gamma\\ \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-10x}}{1-e^{-x}}\right)dx & =\frac{7129}{2520}-\gamma \end{align*}

\begin{align*} \int_{0}^{\infty}\left(x^{-1}e^{-x}-\frac{e^{-nx}}{1-e^{-x}}\right)dx & =\left[\log\left(x\right)e^{-x}\right]_{0}^{\infty}+\int_{0}^{\infty}\left(\log\left(x\right)e^{-x}-e^{-nx}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-kx}\right)dx\\ & =-\lim_{x\rightarrow0}\log\left(x\right)+\left[\frac{d}{dt}\int_{0}^{\infty}x^{t}e^{-x}dx\right]_{t=0}-\int_{0}^{\infty}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-\left(k+n\right)x}dx\\ & =-\lim_{x\rightarrow1}\log\left(1-x\right)+\left[\frac{d}{dt}\Gamma\left(t+1\right)\right]_{t=0}+\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+n}\left[e^{-\left(k+n\right)x}\right]_{0}^{\infty}\\ & =\lim_{x\rightarrow1}\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{k}}{k}+\left[\Gamma\left(t+1\right)\frac{d}{dt}\log\Gamma\left(t+1\right)\right]_{t=0}-\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k+n}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}+\left[\Gamma\left(t+1\right)\psi\left(t+1\right)\right]_{t=0}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k+n-1}\\ & =\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}+\Gamma\left(1\right)\psi\left(1\right)+H_{n-1}-\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k}\\ & =\Gamma\left(1\right)\psi\left(1\right)+H_{n-1}\\ & =H_{n-1}-\gamma \end{align*}