(1)

\begin{align*} B_{n}\left(0\right) & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}0^{n-k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}\delta_{0,n-k}\\ & =C\left(n,n\right)B_{n}\\ & =B_{n} \end{align*}

(2)

\begin{align*} B_{n}\left(1\right) & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}1^{n-k}\\ & =\sum_{k=0}^{n}C\left(n,k\right)B_{k}\\ & =\sum_{k=0}^{n-1}C\left(n,k\right)B_{k}+C\left(n,n\right)B_{n}\\ & =\delta_{0,n-1}+B_{n}\\ & =\delta_{1,n}+B_{n} \end{align*} これを偶数と奇数に分けて考える。
偶数のベルヌーイ数は、
\begin{align*} B_{2n}\left(1\right) & =\delta_{1,2n}+B_{2n}\\ & =B_{2n} \end{align*} となり、奇数のベルヌーイ数は、
\begin{align*} B_{2n+1}\left(1\right) & =\delta_{1,2n+1}+B_{2n+1}\\ & =\delta_{0,n}+B_{2n+1}\\ & =\delta_{0,n}-\frac{1}{2}\delta_{0,n}\\ & =\frac{1}{2}\delta_{0,n}\\ & =-B_{2n+1} \end{align*} となる。
これより、
\[ \begin{cases} B_{2n}\left(1\right)=B_{2n}\\ B_{2n+1}\left(1\right)=-B_{2n+1} \end{cases} \] となるので1つにすると、
\[ B_{n}\left(1\right)=\left(-1\right)^{n}B_{n} \] となる。

(2)-2

途中まで示す。
\[ B_{n}\left(x+1\right)-B_{n}\left(x\right)=nx^{n-1} \] より、\(x=0\)を代入して、
\begin{align*} B_{n}\left(1\right) & =B_{n}\left(0\right)+n\delta_{0,n-1}\\ & =B_{n}+n\delta_{1,n}\\ & =B_{n}+\delta_{1,n} \end{align*} となる。

(3)

ベルヌーイ多項式の母関数より、
\begin{align*} \sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{k}}{k!} & =\frac{te^{\frac{1}{2}t}}{e^{t}-1}\\ & =\frac{t}{e^{\frac{t}{2}}-e^{-\frac{t}{2}}}\\ & =\frac{t}{2}\sinh^{-1}\left(\frac{t}{2}\right)\\ & =\frac{t}{2}\left\{ \sum_{k=0}^{\infty}\frac{2\left(1-2^{2k-1}\right)B_{2k}}{\left(2k\right)!}\left(\frac{t}{2}\right){}^{2k-1}\right\} \\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(1-2^{2k-1}\right)B_{2k}}{2^{2k-1}}\frac{t^{2k}}{\left(2k\right)!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\frac{\left(2-2^{2k}\right)B_{2k}}{2^{2k}}\frac{t^{2k}}{\left(2k\right)!}\\ & =\sum_{k=0}^{\infty}\left(\frac{1}{2^{2k-1}}-1\right)B_{2k}\frac{t^{2k}}{\left(2k\right)!} \end{align*} となり、左辺は
\[ \sum_{k=0}^{\infty}B_{k}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{k}}{k!}=\sum_{k=0}^{\infty}B_{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{2k-1}}{\left(2k-1\right)!}+\sum_{k=0}^{\infty}B_{2k}\left(\frac{1}{2}\right)\frac{t^{2k}}{\left(2k\right)!} \] となる。
両辺の係数を比べると、
\[ \begin{cases} B_{2k}\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2^{2k-1}}-1\right)B_{2k}\\ B_{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right)=0 \end{cases} \] となる。
これより、
\begin{align*} B_{2k-1}\left(\frac{1}{2}\right) & =0\\ & =\left(\frac{1}{2^{\left(2k-1\right)-1}}-1\right)\left(-\frac{1}{2}\delta_{1,2k-1}\right)\\ & =\left(\frac{1}{2^{\left(2k-1\right)-1}}-1\right)B_{2k-1} \end{align*} となるので、1つにまとめると、
\[ B_{n}\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2^{n-1}}-1\right)B_{n} \] となる。
従って与式は成り立つ。

(4)

略

(5)

略

(6)

略