マルコフの不等式
マルコフの不等式
任意の正の数\(\epsilon\)に対し、
\[ P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon} \] が成り立つ。
任意の正の数\(\epsilon\)に対し、
\[ P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon} \] が成り立つ。
(a)離散型確率変数
\begin{align*} E\left(\left|X\right|\right) & =\sum_{i}\left|x_{i}\right|P\left(X=x_{i}\right)\\ & \geq\sum_{\left|x_{1}\right|\geq\epsilon}\left|x_{i}\right|P\left(X=x_{i}\right)\qquad,\qquad\forall\epsilon>0\\ & \geq\sum_{\left|x_{1}\right|\geq\epsilon}\epsilon P\left(X=x_{i}\right)\\ & =\epsilon P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right) \end{align*}(b)連続型確率変数
\begin{align*} E\left(\left|X\right|\right) & =\int_{-\infty}^{\infty}\left|x\right|P(x)dx\\ & =\int_{-\infty}^{-\epsilon}\left|x\right|P(x)dx+\int_{-\epsilon}^{\epsilon}\left|x\right|P(x)dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\left|x\right|P(x)dx\qquad,\qquad\forall\epsilon>0\\ & \geq\int_{-\infty}^{-\epsilon}\epsilon P(x)dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\epsilon P(x)dx\\ & =\epsilon\int_{-\epsilon\geq x}P(x)dx+\epsilon\int_{\epsilon\leq x}P(x)dx\\ & =\epsilon\int_{-x\geq\epsilon}P(x)dx+\epsilon\int_{x\geq\epsilon}P(x)dx\\ & =\epsilon\int_{\left|x\right|\geq\epsilon}P(x)dx\\ & =\epsilon P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right) \end{align*}(*)
これより、\[ P\left(\left|X\right|\geq\epsilon\right)\leq\frac{E\left(\left|X\right|\right)}{\epsilon} \]
ページ情報
| タイトル | マルコフの不等式 |
| URL | https://www.nomuramath.com/llcrs1pz/ |
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相加平均・相乗平均・調和平均・一般化平均の定義
\[
\mu_{A}=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}x_{k}
\]
独立と無相関の定義
\[
P\left(X=x,Y=y\right)=P(X=x)P(Y=y)
\]
中心極限定理
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{\sqrt{n}\sigma}\left(\sum_{i=1}^{n}X_{i}-n\mu\right)=N(0,1)
\]
期待値・分散・共分散などの定義
\[
E(X)=\int_{-\infty}^{\infty}xP(x)dx
\]