級数が収束するならチェザロ平均の極限は存在

\(-\infty<a<\infty\)のとき、

条件より\(a\in\mathbb{R}\)として\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\)なので任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\rightarrow\left|a_{n}-a\right|<\epsilon\)となる。
また、このとき有界となるので、ある\(M>0\)が存在し任意の\(n\in\mathbb{N}\)に対し\(\left|a_{n}\right|<M\)となる。
ここで\(N_{1}=\max\left\{ N,\frac{N\left(M+\left|a\right|\right)}{\epsilon}\right\} \)として、\(N_{1}\leq n\)のとき、
\begin{align*} \left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}-a\right| & =\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a\right)\right|\\ & \leq\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}-a\right|\\ & =\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{N}\left|a_{k}-a\right|+\sum_{k=N+1}^{n}\left|a_{k}-a\right|\right)\\ & \leq\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{N}\left(\left|a_{k}\right|+\left|a\right|\right)+\sum_{k=N+1}^{n}\epsilon\right)\\ & \leq\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{N}\left(M+\left|a\right|\right)+\sum_{k=N+1}^{n}\epsilon\right)\\ & =\frac{1}{n}\left(N\left(M+\left|a\right|\right)+\left(n-N\right)\epsilon\right)\\ & \leq\frac{N}{n}\left(M+\left|a\right|\right)+\epsilon\\ & \leq\frac{N_{1}}{n}\epsilon+\epsilon\\ & \leq\epsilon+\epsilon\\ & =2\epsilon \end{align*} となる。
故に\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a\)となる。

別証明

\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}-a\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left(a_{k}-a\right)\right|\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\left|a_{k}-a\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{j-1}\left|a_{k}-a\right|+\sum_{k=j}^{n}\left|a_{k}-a\right|\right)\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(\sum_{k=1}^{j-1}\left|a_{k}-a\right|+\left(n-j+1\right)\sup_{k\geq j}\left|a_{k}-a\right|\right)\\ & \leq\lim_{n\rightarrow\infty}\left(\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{j-1}\left|a_{k}-a\right|+\sup_{k\geq j}\left|a_{k}-a\right|\right)\\ & =\sup_{k\geq j}\left|a_{k}-a\right|\\ & =\lim_{j\rightarrow\infty}\sup_{k\geq j}\left|a_{k}-a\right|\\ & =\limsup_{j\rightarrow\infty}\left|a_{j}-a\right|\\ & =\lim_{j\rightarrow\infty}\left|a_{j}-a\right|\\ & =0 \end{align*} となる。
途中で\(j\)は任意なので\(j\rightarrow\infty\)とした。
故に\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a\)となる。

\(a=\infty\)のとき、

条件より\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=\infty\)なので任意の\(M>0\)に対し、ある\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\rightarrow M<a_{n}\)となる。
また、このとき下に有界なのである\(0<L\)が存在し、\(-L<a_{n}\)となる。
ここで\(N_{1}=\max\left\{ 2N,\frac{4NL}{M}\right\} \)として、\(N_{1}\leq n\)のとき、
\begin{align*} \frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & =\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N}a_{k}+\frac{1}{n}\sum_{k=N+1}^{n}a_{k}\\ & \geq-\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{N}L+\frac{1}{n}\sum_{k=N+1}^{n}M\\ & =-\frac{N}{n}L+\frac{n-N}{n}M\\ & =-\frac{N}{n}L+M-\frac{N}{n}M\\ & \geq-\frac{MN_{1}}{4n}+M-\frac{N_{1}}{2n}M\\ & =-\frac{3MN_{1}}{4n}+M\\ & \geq-\frac{3}{4}M+M\\ & =\frac{1}{4}M \end{align*} となる。
故に\(\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=\infty\)となる。

\(a=-\infty\)のとき、

\(a=\infty\)のときと同様にすればよい。

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これらより、\(-\infty<a<\infty\land a=\infty\land a=-\infty\)に対し、
\[ \lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}=a\Rightarrow\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k}=a \] が成り立つので題意は成り立つ。

逆は一般的に成り立たない

反例で示す。
\(a_{n}=\left(-1\right)^{n+1}\)とすると、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}a_{k} & =\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n}\left(\frac{1}{2}+\frac{\left(-1\right)^{n+1}}{2}\right)\\ & =0 \end{align*} で0に収束するが、\(\lim_{n\rightarrow\infty}a_{n}\)は振動するので\(\Leftarrow\)は成り立たない。
従って\(\Leftarrow\)は一般的に成り立たない。