(0)

位置\(X\)が
\[ \boldsymbol{X}=\frac{p\boldsymbol{A}+q\boldsymbol{B}+r\boldsymbol{C}}{p+q+r} \] と表されるときの\(\left|AX\right|^{2}\)を求める。

角度での表示

\begin{align*} \left|AX\right|^{2} & =\left|\overrightarrow{AX}\right|^{2}\\ & =\left|\frac{q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}}{p+q+r}\right|^{2}\\ & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left|q\overrightarrow{AB}+r\overrightarrow{AC}\right|^{2}\\ & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(q^{2}\left|AB\right|^{2}+r^{2}\left|AC\right|^{2}+2qr\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\right)\\ & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(q^{2}c^{2}+r^{2}b^{2}+2qrbc\cos A\right)\\ & =\left(\frac{2R}{p+q+r}\right)^{2}\left(q^{2}\sin^{2}C+r^{2}\sin^{2}B+2qr\sin B\sin C\cos A\right)\tag{(*)}\\ & =\left(\frac{2R}{p+q+r}\right)^{2}\left(\left(q\sin C+r\sin B\right)^{2}-2qr\sin B\sin C\left(1-\cos A\right)\right)\\ & =\left(\frac{2R}{p+q+r}\right)^{2}\left(\left(q\sin C+r\sin B\right)^{2}-4qr\sin B\sin C\sin^{2}\frac{A}{2}\right)\\ & =\left(\frac{2R}{p+q+r}\right)^{2}\left(q\sin C+r\sin B-2\sqrt{qr\sin B\sin C}\sin\frac{A}{2}\right)\left(q\sin C+r\sin B+2\sqrt{qr\sin B\sin C}\sin\frac{A}{2}\right) \end{align*}

長さでの表示

\begin{align*} \left|AX\right|^{2} & =\left(\boldsymbol{X}-\boldsymbol{A}\right)^{2}\\ & =\left(\frac{p\boldsymbol{A}+q\boldsymbol{B}+r\boldsymbol{C}}{p+q+r}-\boldsymbol{A}\right)^{2}\\ & =\left(\frac{-\left(q+r\right)\boldsymbol{A}+q\boldsymbol{B}+r\boldsymbol{C}}{p+q+r}\right)^{2}\\ & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(q\left(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}\right)-r\left(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{A}\right)\right)^{2}\\ & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(q^{2}\left(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}\right)^{2}+r^{2}\left(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{A}\right)^{2}+2qr\left(\boldsymbol{B}-\boldsymbol{A}\right)\cdot\left(\boldsymbol{C}-\boldsymbol{A}\right)\right)\\ & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(q^{2}c^{2}+r^{2}b^{2}+2qrcb\cos A\right)\\ & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(q^{2}c^{2}+r^{2}b^{2}+2qrbc\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}\right)\\ & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(q^{2}c^{2}+r^{2}b^{2}+qr\left(b^{2}+c^{2}-a^{2}\right)\right)\\ & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(-qra^{2}+r\left(r+q\right)b^{2}+q\left(q+r\right)c^{2}\right) \end{align*}

(1)

重心\(G\)は
\[ \boldsymbol{G}=\frac{\boldsymbol{A}+\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}}{3} \] なので\(p=q=r=1\)である。
これより、
\begin{align*} \left|AG\right|^{2} & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(-qra^{2}+r\left(r+q\right)b^{2}+q\left(q+r\right)c^{2}\right)\\ & =\frac{1}{\left(1+1+1\right)^{2}}\left(-a^{2}+1\left(1+1\right)b^{2}+1\left(1+1\right)c^{2}\right)\\ & =\frac{-a^{2}+2b^{2}+2c^{2}}{9} \end{align*} となる。

(2)

垂心\(H\)は角度を使って表すと、
\[ \boldsymbol{H}=\frac{\tan A\boldsymbol{A}+\tan B\boldsymbol{B}+\tan C\boldsymbol{C}}{\tan A+\tan B+\tan C} \] であるので\(p=\tan A,q=\tan B,r=\tan C\)である。
これより、
\begin{align*} \left|AH\right|^{2} & =\left(\frac{2R}{p+q+r}\right)^{2}\left(q^{2}\sin^{2}C+r^{2}\sin^{2}B+2qr\sin B\sin C\cos A\right)\\ & =\left(\frac{2R}{\tan A+\tan B+\tan C}\right)^{2}\left(\tan^{2}B\sin^{2}C+\tan^{2}C\sin^{2}B+2\tan B\tan C\sin B\sin C\cos A\right)\\ & =\left(\frac{2R\tan B\tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}\right)^{2}\left(\cos^{2}C+\cos^{2}B+2\cos B\cos C\cos A\right)\\ & =\left(\frac{2R\tan B\tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}\right)^{2}\left(\cos^{2}C+\cos^{2}B+1-\left(\cos^{2}A+\cos^{2}B+\cos^{2}C\right)\right)\\ & =\left(\frac{2R\tan B\tan C}{\tan A+\tan B+\tan C}\right)^{2}\left(\left(1-\cos^{2}A\right)\right)\\ & =\left(\frac{2R\tan B\tan C}{\tan A\tan B\tan C}\right)^{2}\sin^{2}A\\ & =\left(\frac{2R}{\tan A}\right)^{2}\sin^{2}A\\ & =\left(2R\cos A\right)^{2}\\ & =\left(a\frac{\cos A}{\sin A}\right)^{2}\\ & =\left(a\tan^{-1}A\right)^{2} \end{align*} となる。

(2)-2

頂点\(A,B,C\)から対辺に下ろした垂線を\(P,Q,R\)とする。
このとき、
\[ \cos\left(\angle QAH\right)=\frac{\left|AQ\right|}{\left|AH\right|} \] なので、
\begin{align*} \left|AH\right| & =\left|AQ\right|\cos^{-1}\left(\angle QAH\right)\\ & =C\cos A\cos^{-1}\left(\angle PAC\right)\\ & =C\cos A\sin C\\ & =2R\cos A\\ & =a\tan^{-1}A \end{align*} となる。

(3)

内心\(I\)は角度を使って表すと、
\[ \boldsymbol{I}=\frac{\sin A\boldsymbol{A}+\sin B\boldsymbol{B}+\sin C\boldsymbol{C}}{\sin A+\sin B+\sin C} \] なので、\(p=\sin A,q=\sin B,r=\sin C\)である。
これより、
\begin{align*} \left|AI\right|^{2} & =\left(\frac{2R}{p+q+r}\right)^{2}\left(q^{2}\sin^{2}C+r^{2}\sin^{2}B+2qr\sin B\sin C\cos A\right)\\ & =\left(\frac{2R}{\sin A+\sin B+\sin C}\right)^{2}\left(\sin^{2}B\sin^{2}C+\sin^{2}C\sin^{2}B+2\sin^{2}B\sin^{2}C\cos A\right)\\ & =\left(\frac{2R\sin B\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}\right)^{2}2\left(1+\cos A\right)\\ & =\left(\frac{2R\sin B\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}\right)^{2}4\cos^{2}\frac{A}{2}\\ & =\left(\frac{4R\cos\frac{A}{2}\sin B\sin C}{\sin A+\sin B+\sin C}\right)^{2}\\ & =\left(\frac{4R\cos\frac{A}{2}\sin B\sin C}{4\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}}\right)^{2}\\ & =\left(\frac{R\sin B\sin C}{\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}}\right)^{2}\\ & =\left(\frac{4R\sin\frac{B}{2}\cos\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\cos\frac{C}{2}}{\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2}}\right)^{2}\\ & =\left(4R\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\right)^{2} \end{align*} となる。
また長さを使って表すと、
\[ \boldsymbol{I}=\frac{a\boldsymbol{A}+b\boldsymbol{B}+c\boldsymbol{C}}{a+b+c} \] なので\(p=a,q=b,r=c\)である。
これより、
\begin{align*} \left|AI\right|^{2} & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(-qra^{2}+r\left(r+q\right)b^{2}+q\left(q+r\right)c^{2}\right)\\ & =\frac{1}{\left(a+b+c\right)^{2}}\left(-a^{2}bc+c\left(b+c\right)b^{2}+b\left(b+c\right)c^{2}\right)\\ & =\frac{bc}{\left(a+b+c\right)^{2}}\left(-a^{2}+\left(b+c\right)b+\left(b+c\right)c\right)\\ & =\frac{bc}{\left(a+b+c\right)^{2}}\left(\left(b+c\right)^{2}-a^{2}\right)\\ & =\frac{bc}{\left(a+b+c\right)^{2}}\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\\ & =\frac{bc\left(-a+b+c\right)}{a+b+c} \end{align*} となる。

(4)

外心\(J\)は角度を使って表すと、
\[ \boldsymbol{J}=\frac{\sin\left(2A\right)\boldsymbol{A}+\sin\left(2B\right)\boldsymbol{B}+\sin\left(2C\right)\boldsymbol{C}}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)} \] となるので\(p=\sin\left(2A\right),q=\sin\left(2B\right),r=\sin\left(2C\right)\)である。
これより、
\begin{align*} \left|AJ\right|^{2} & =\left(\frac{2R}{p+q+r}\right)^{2}\left(q^{2}\sin^{2}C+r^{2}\sin^{2}B+2qr\sin B\sin C\cos A\right)\\ & =\left(\frac{2R}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)}\right)^{2}\left(\sin^{2}\left(2B\right)\sin^{2}C+\sin^{2}\left(2C\right)\sin^{2}B+2\sin\left(2B\right)\sin\left(2C\right)\sin B\sin C\cos A\right)\\ & =\left(\frac{4R}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)}\right)^{2}\left(\sin^{2}B\cos^{2}B\sin^{2}C+\sin^{2}C\cos^{2}C\sin^{2}B+2\sin^{2}B\cos B\sin^{2}C\cos C\cos A\right)\\ & =\left(\frac{4R\sin B\sin C}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)}\right)^{2}\left(\cos^{2}B+\cos^{2}C+2\cos B\cos C\cos A\right)\\ & =\left(\frac{4R\sin B\sin C}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)}\right)^{2}\left(\cos^{2}B+\cos^{2}C+2\frac{1}{2}\left\{ 1-\left(\cos^{2}A+\cos^{2}B+\cos^{2}C\right)\right\} \right)\\ & =\left(\frac{4R\sin B\sin C}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)}\right)^{2}\left(1-\cos^{2}A\right)\\ & =\left(\frac{4R\sin A\sin B\sin C}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)}\right)^{2}\\ & =\left(\frac{4R\frac{1}{4}\left(\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)\right)}{\sin\left(2A\right)+\sin\left(2B\right)+\sin\left(2C\right)}\right)^{2}\\ & =R^{2}\\ & =\left(\frac{a}{2\sin A}\right) \end{align*} となる。

(5)

傍心\(I_{a}\)は
\[ \boldsymbol{I}_{a}=\frac{-a\boldsymbol{A}+b\boldsymbol{B}+c\boldsymbol{C}}{-a+b+c} \] となるので\(p=-a,q=b,r=c\)である。
これより、
\begin{align*} \left|AI_{a}\right|^{2} & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(-qra^{2}+r\left(r+q\right)b^{2}+q\left(q+r\right)c^{2}\right)\\ & =\frac{1}{\left(-a+b+c\right)^{2}}\left(-bca^{2}+c\left(c+b\right)b^{2}+b\left(b+c\right)c^{2}\right)\\ & =\frac{bc}{\left(-a+b+c\right)^{2}}\left(-a^{2}+\left(c+b\right)b+\left(b+c\right)c\right)\\ & =\frac{bc}{\left(-a+b+c\right)^{2}}\left(-a^{2}+\left(b+c\right)^{2}\right)\\ & =\frac{bc}{\left(-a+b+c\right)^{2}}\left(\left(a+b+c\right)\left(-a+b+c\right)\right)\\ & =\frac{bc\left(a+b+c\right)}{-a+b+c} \end{align*} となる。
また傍心\(I_{b}\)は
\[ \boldsymbol{I}_{b}=\frac{a\boldsymbol{A}-b\boldsymbol{B}+c\boldsymbol{C}}{a-b+c} \] となるので\(p=a,q=-b,r=c\)である。
これは、\(\left|AI_{a}\right|^{2}=\frac{bc\left(a+b+c\right)}{-a+b+c}\)で\(a\rightarrow-a,b\rightarrow-b\)としたのと同じであるので、\(\left|AI_{b}\right|^{2}=\frac{bc\left(a+b-c\right)}{a-b+c}\)となる。
実際に計算をすると、
\begin{align*} \left|AI_{b}\right|^{2} & =\frac{1}{\left(p+q+r\right)^{2}}\left(-qra^{2}+r\left(r+q\right)b^{2}+q\left(q+r\right)c^{2}\right)\\ & =\frac{1}{\left(a-b+c\right)^{2}}\left(bca^{2}+c\left(c-b\right)b^{2}-b\left(-b+c\right)c^{2}\right)\\ & =\frac{bc}{\left(a-b+c\right)^{2}}\left(a^{2}+\left(c-b\right)b-\left(c-b\right)c\right)\\ & =\frac{bc}{\left(a-b+c\right)^{2}}\left(a^{2}-\left(c-b\right)^{2}\right)\\ & =\frac{bc}{\left(a-b+c\right)^{2}}\left(a+c-b\right)\left(a-c+b\right)\\ & =\frac{bc\left(a+b-c\right)}{a-b+c} \end{align*} となる。
同様に、
\[ \left|AI_{c}\right|^{2}=\frac{bc\left(a-b+c\right)}{a+b-c} \] となる。