(0)

\(f\left(x,y\right)\)を\(x\)についての2次関数と見て、次に\(y\)についての2次関数と見る。
\begin{align*} f\left(x,y\right) & =x^{2}+2xy+2y^{2}+2x+3\\ & =x^{2}+\left(2y+2\right)x+2y^{2}+3\\ & =\left(x+y+1\right)^{2}-\left(y+1\right)^{2}+2y^{2}+3\\ & =\left(x+y+1\right)^{2}+y^{2}-2y+2\\ & =\left(x+y+1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}+1 \end{align*} となるので\(x=-2,y=1\)のとき最小値1となる。

(0)-2

\(f\left(x,y\right)=k\)となる\(x,y\)が存在するには、\(f\left(x,y\right)-k\)を\(x\)の2次関数と見て判別式が0以上であればいい。
\begin{align*} 0 & \leq\frac{D}{4}\\ & =\left(y+1\right)^{2}-\left(2y^{2}+3-k\right)\\ & =-y^{2}+2y-2+k\\ & =-\left(y-1\right)^{2}-1+k \end{align*} より、
\[ k\geq\left(y-1\right)^{2}+1 \] となり、\(y=1\)のとき最小値\(1\)となる。