(1)

密着位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)では\(a,b\)の近傍は\(\mathcal{V}\left(a\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} ,\mathcal{V}\left(b\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \)であるので、\(\mathcal{V}\left(a\right)=\mathcal{V}\left(b\right)\)より、\(a\)と\(b\)は位相的に識別不可能である。

(2)

離散位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,2^{\left\{ a,b\right\} }\right)\)では\(a,b\)の近傍は\(\mathcal{V}\left(a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\mathcal{V}\left(b\right)=\left\{ \left\{ b\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \)であるので、\(\mathcal{V}\left(a\right)\ne\mathcal{V}\left(b\right)\)より、\(a\)と\(b\)は位相的に識別可能である。

(3)

シェルピンスキー位相\(\left(\left\{ a,b\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} \right)\)では\(a,b\)の近傍は\(\mathcal{V}\left(a\right)=\left\{ \left\{ a\right\} ,\left\{ a,b\right\} \right\} ,\mathcal{V}\left(b\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} \right\} \)であるので、\(\mathcal{V}\left(a\right)\ne\mathcal{V}\left(b\right)\)より、\(a\)と\(b\)は位相的に識別可能である。

(4)

位相空間\(\left(\left\{ a,b,c\right\} ,\left\{ \emptyset,\left\{ a,b\right\} ,\left\{ c\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \right)\)では\(a,b\)の近傍は\(\mathcal{V}\left(a\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} ,\mathcal{V}\left(b\right)=\left\{ \left\{ a,b\right\} ,\left\{ a,b,c\right\} \right\} \)であるので、\(\mathcal{V}\left(a\right)=\mathcal{V}\left(b\right)\)より、\(a\)と\(b\)は位相的に識別不可能である。