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次の関数は各点収束するが一様収束しない。
\[ f_{n}\left(x\right)=\begin{cases} n & 0<x<\frac{1}{n}\\ 0 & x\leq0,\frac{1}{n}\leq x \end{cases} \]

各点収束

\begin{align*} f\left(x\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(x\right)\\ & =0 \end{align*} となるので各点収束する。

一様収束

\(x=\frac{1}{2n}\)の点は、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}\left(\frac{1}{2n}\right) & =\lim_{n\rightarrow\infty}n\\ & =\infty \end{align*} より、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|f_{n}\left(\frac{1}{2n}\right)-f\left(\frac{1}{2n}\right)\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\left|n-0\right|\\ & =\infty \end{align*} となるので一様収束しない。

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\(f_{n}\left(x\right)=x^{n},f\left(x\right)=0\)とすると、関数列\(f_{n}(x)\)は\(\left(-1,1\right)\)において関数\(f(x)\)に広義一様収束するが一様収束しない。
何故なら、\(-1<a<1,-1<b<1\)として\(a\leq b\)とすると、\(\left[a,b\right]\subseteq\left(-1,1\right)\)となり
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{a\leq x\leq b}\left|x^{n}\right|\\ & =\lim_{n\rightarrow\infty}\max\left(a^{n},b^{n}\right)\\ & =0 \end{align*} となるので\(\left[a,b\right]\)では一様収束する。
しかし、
\begin{align*} \lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{-1\leq x\leq1}\left|f_{n}\left(x\right)-f\left(x\right)\right| & =\lim_{n\rightarrow\infty}\sup_{-1\leq x\leq1}\left|x^{n}\right|\\ & =1 \end{align*} となるので\(\left(-1,1\right)\)では一様収束しない。
従って\(\left(-1,1\right)\)では広義一様収束するが一様収束はしない。