点列の収束と任意の部分列の収束
点列の収束と任意の部分列の収束
距離空間\(\left(X,d\right)\)が与えられているとき、点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が\(a\in X\)に収束することと、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の任意の部分列が\(a\)に収束することは同値である。
距離空間\(\left(X,d\right)\)が与えられているとき、点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が\(a\in X\)に収束することと、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の任意の部分列が\(a\)に収束することは同値である。
ある部分列が収束するだけでは\(\Leftarrow\)は成り立たない。
何故なら、\(\left(x_{n}=\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)とすると収束しないが、部分列を\(\left(x_{2n}=\left(-1\right)^{2n}=1\right)_{n\in\mathbb{N}}\)に収束するからである。
何故なら、\(\left(x_{n}=\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)とすると収束しないが、部分列を\(\left(x_{2n}=\left(-1\right)^{2n}=1\right)_{n\in\mathbb{N}}\)に収束するからである。
\(\Rightarrow\)
\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が\(a\)に収束するので任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\rightarrow d\left(x_{n},a\right)<\epsilon\)となる。このとき、部分列\(\left(x_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)については、ある\(N_{1}\in\mathbb{N}\)が存在し\(N_{1}\leq n\rightarrow N\leq\sigma\left(n\right)\)を満たすので、\(N\leq\sigma\left(n\right)\rightarrow d\left(x_{\sigma\left(n\right)},a\right)<\epsilon\)となり\(a\)に収束する。
\(\Leftarrow\)
\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の任意の部分列は\(\left(x_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)なので\(\sigma\left(n\right)=n\)ととれば元の点列になるので明らかに元の点列も\(a\)に収束する\(\Leftrightarrow\)
故に\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。
ページ情報
| タイトル | 点列の収束と任意の部分列の収束 |
| URL | https://www.nomuramath.com/lroj6ogu/ |
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距離空間ではコンパクト集合と点列コンパクト集合とは同値
距離空間での連続を開近傍を使って表現
\[
\forall\epsilon>0,\exists\delta>0,f\left(U_{\delta}\left(a\right)\right)\subseteq U_{\epsilon}\left(f\left(a\right)\right)
\]
開球同士が交わるときの包含関係
\[
B\left(x_{1},r_{1}\right)\cap B\left(x_{2},r_{2}\right)\ne\emptyset\land r_{2}\leq r_{1}\Rightarrow B\left(x_{2},r_{2}\right)\subseteq B\left(x_{1},3r_{1}\right)
\]
実数全体の集合は完備距離空間