点列の収束と任意の部分列の収束
点列の収束と任意の部分列の収束
距離空間\(\left(X,d\right)\)が与えられているとき、点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が\(a\in X\)に収束することと、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の任意の部分列が\(a\)に収束することは同値である。
距離空間\(\left(X,d\right)\)が与えられているとき、点列\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が\(a\in X\)に収束することと、\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の任意の部分列が\(a\)に収束することは同値である。
ある部分列が収束するだけでは\(\Leftarrow\)は成り立たない。
何故なら、\(\left(x_{n}=\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)とすると収束しないが、部分列を\(\left(x_{2n}=\left(-1\right)^{2n}=1\right)_{n\in\mathbb{N}}\)に収束するからである。
何故なら、\(\left(x_{n}=\left(-1\right)^{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)とすると収束しないが、部分列を\(\left(x_{2n}=\left(-1\right)^{2n}=1\right)_{n\in\mathbb{N}}\)に収束するからである。
\(\Rightarrow\)
\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)が\(a\)に収束するので任意の\(\epsilon>0\)に対し、ある自然数\(N\in\mathbb{N}\)が存在し、\(N\leq n\rightarrow d\left(x_{n},a\right)<\epsilon\)となる。このとき、部分列\(\left(x_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)については、ある\(N_{1}\in\mathbb{N}\)が存在し\(N_{1}\leq n\rightarrow N\leq\sigma\left(n\right)\)を満たすので、\(N\leq\sigma\left(n\right)\rightarrow d\left(x_{\sigma\left(n\right)},a\right)<\epsilon\)となり\(a\)に収束する。
\(\Leftarrow\)
\(\left(x_{n}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)の任意の部分列は\(\left(x_{\sigma\left(n\right)}\right)_{n\in\mathbb{N}}\)なので\(\sigma\left(n\right)=n\)ととれば元の点列になるので明らかに元の点列も\(a\)に収束する\(\Leftrightarrow\)
故に\(\Rightarrow\)と\(\Leftarrow\)が成り立つので\(\Leftrightarrow\)となる。
ページ情報
| タイトル | 点列の収束と任意の部分列の収束 |
| URL | https://www.nomuramath.com/lroj6ogu/ |
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収束列と閉集合・閉包・稠密との関係
閉集合であることと、収束列の収束先がその集合に入ることは同値である。
距離空間でのε-近傍・開集合・閉集合・開集合全体の集合・開集合族の定義
\[
U_{\epsilon}\left(a\right)=\left\{ x\in X;d\left(x,a\right)<\epsilon\right\}
\]
距離関数は連続関数
距離空間$\left(X,d\right)$の距離関数$d:X\times X\rightarrow\mathbb{R}$は直積距離空間$\left(X\times X,d'\right)$上の連続関数である。
マンハッタン距離は距離空間
\[
d_{1}\left(\boldsymbol{x},\boldsymbol{y}\right)=\sum_{k=1}^{n}\left|x_{k}-y_{k}\right|
\]