三角関数と双曲線関数
三角関数と双曲線関数には以下の関係がある。
(1)
\[ i\sin x=\sinh\left(ix\right) \](2)
\[ \cos x=\cosh\left(ix\right) \](3)
\[ i\tan x=\tanh\left(ix\right) \](4)
\[ i\sinh x=\sin(ix) \](5)
\[ \cosh x=\cos(ix) \](6)
\[ i\tanh x=\tan(ix) \](1)
\begin{align*} i\sin x & =i\frac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\\ & =\frac{e^{\left(ix\right)}-e^{\left(-ix\right)}}{2}\\ & =\sinh ix \end{align*}(2)
\begin{align*} \cos x & =\frac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\\ & =\frac{e^{\left(ix\right)}+e^{\left(-ix\right)}}{2}\\ & =\cosh ix \end{align*}(3)
\begin{align*} i\tan x & =i\frac{\sin x}{\cos x}\\ & =\frac{\sinh ix}{\cosh ix}\\ & =\tanh ix \end{align*}(4)
\begin{align*} i\sinh x & =i\sinh\left\{ i(-ix)\right\} \\ & =-\sin(-ix)\\ & =\sin(ix) \end{align*}(5)
\begin{align*} \cosh x & =\cosh\left\{ i(-ix)\right\} \\ & =\cos(-ix)\\ & =\cos(ix) \end{align*}(6)
\begin{align*} i\tanh x & =i\frac{\sinh x}{\cosh x}\\ & =i\frac{-i\sin(ix)}{\cos(ix)}\\ & =\tan(ix) \end{align*}ページ情報
タイトル | 三角関数と双曲線関数 |
URL | https://www.nomuramath.com/lsiur0p5/ |
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3角関数・双曲線関数の総和
\[
\sum_{k=m_{1}}^{m_{2}}\sin\left(ak+b\right)=\sin^{-1}\left(\frac{a}{2}\right)\sin\left(\left(m_{1}+m_{2}\right)\frac{a}{2}+b\right)\sin\left(\left(1+m_{2}-m_{1}\right)\frac{a}{2}\right)
\]
三角関数・双曲線関数の実部と虚部
\[
\sin z=\sin\left(\Re z\right)\cosh\left(\Im z\right)+i\cos\left(\Re z\right)\sinh\left(\Im z\right)
\]
1と3角関数・双曲線関数(半角の公式の拡張)
\[
1+\sin z=\left(\cos\frac{z}{2}+\sin\frac{z}{2}\right)^{2}
\]
逆三角関数と逆双曲線関数の関係
\[
\Sin^{\bullet}\left(iz\right)=i\Sinh^{\bullet}z
\]