2項係数の対称性を使います
2項係数の対称性を使います
次の総和を求めよ。
\[ \sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=? \]
次の総和を求めよ。
\[ \sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)=? \]
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\(C\left(n,k\right)\)は2項係数\begin{align*}
\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right) & =\frac{1}{2}\left(\sum_{k=0}^{n}kC^{2}\left(n,k\right)+\sum_{k=0}^{n}\left(n-k\right)C^{2}\left(n,n-k\right)\right)\\
& =\frac{n}{2}\sum_{k=0}^{n}C^{2}\left(n,k\right)\\
& =\frac{n}{2}C\left(2n,n\right)
\end{align*}
ページ情報
| タイトル | 2項係数の対称性を使います |
| URL | https://www.nomuramath.com/lsryitga/ |
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分母の形に気付くかな
\[
\sum_{k=0}^{n}\frac{k!}{k!+\left(n-k\right)!}=?
\]
分母にルート同士の和がある総和
\[
\frac{1}{\sqrt{5}+\sqrt{6}}+\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{7}}+\cdots+\frac{1}{\sqrt{28}+\sqrt{29}}+\frac{1}{\sqrt{29}+\sqrt{30}}=?
\]
総乗の極限問題
\[
\lim_{n\rightarrow\infty}\prod_{k=1}^{n}\left(1+\frac{k}{n^{2}}\right)=?
\]
分母に階乗の和を含む総和
\[
\frac{3}{1!+2!+3!}+\frac{4}{2!+3!+4!}+\frac{5}{3!+4!+5!}+\cdots+\frac{100}{98!+99!+100!}=?
\]