(1)

櫛型関数は
\[ \mathrm{comb}_{1}\left(x+T\right)=\mathrm{comb}_{T}\left(x\right) \] となり周期\(T\)であるので、フーリエ級数で表すと、
\[ \mathrm{comb}_{T}\left(x\right)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{i\frac{2\pi}{T}nx} \] であり、\(c_{n}\)は
\begin{align*} c_{n} & =\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)e^{-i\frac{2\pi}{T}nx}dx\\ & =\frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-nT\right)e^{-i\frac{2\pi}{T}nx}dx\\ & =\frac{1}{T}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\delta\left(x\right)e^{-i\frac{2\pi}{T}0x}dx\\ & =\frac{1}{T}\int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}}\delta\left(x\right)dx\\ & =\frac{1}{T} \end{align*} となるので、
\begin{align*} \mathrm{comb}_{T}\left(x\right) & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_{n}e^{i\frac{2\pi}{T}nx}\\ & =\frac{1}{T}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi}{T}nx} \end{align*} となり、与式は成り立つ。

(2)

\begin{align*} \mathcal{F}_{x}\left[\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)\right]\left(\xi\right) & =\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{comb}_{T}\left(x\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\\ & =\int_{-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta\left(x-nT\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\delta\left(x-nT\right)e^{-2\pi i\xi x}dx\\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{-2\pi i\xi nT}\\ & =\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{2\pi i\xi nT}\\ & =\frac{1}{T}\cdot\frac{1}{T^{-1}}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{i\frac{2\pi}{T^{-1}}\xi n}\\ & =\frac{1}{T}\mathrm{comb}_{\frac{1}{T}}\left(\xi\right) \end{align*} となる。